Так как невозмущенная задача невырождена, то согласно теореме 1 достаточно установить неоднозначность функции $I^{1}\left(t, I^{0}, 0\right)$.
Положим
\[
\begin{array}{c}
\Phi(t)=-\left.\frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial \varphi_{2}}\right|_{\substack{I=I^{0} \\
\varphi=\omega t}}= \\
=-i\left\{e^{i \omega_{2} t} \sum_{k=1}^{3} \alpha_{k} f_{k}^{+}\left(I^{0}, \omega_{1} t\right)-e^{-i \omega_{2} t} \sum_{k=1}^{3} \alpha_{k} f_{k}^{-}\left(I^{0}, \omega_{1} t\right)\right\} .
\end{array}
\]

Так как
\[
\dot{I}_{2}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial \varphi_{2}}=-\mu \frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial \varphi_{2}}
\]

то
\[
\xi_{2}=\oint_{\Gamma} \Phi(t) d t .
\]

Функция $\Phi(t)$ периодична по $t$ с действительным периодом $T$, следовательно,
\[
\int_{B}^{C} \Phi(t) d t+\int_{D}^{A} \Phi(t) d t=0 .
\]

Положим
\[
\begin{array}{c}
\sigma_{k}^{+}=-i \alpha_{k} \int_{A}^{B} e^{i \omega_{2} t} f_{k}^{+}\left(I^{0}, \omega_{1} t\right) d t, \\
\sigma_{k}^{-}=i \alpha_{k} \int_{A}^{B} e^{-i \omega_{2} t} f_{k}^{-}\left(I^{0}, \omega_{1} t\right) d t, \\
\Sigma_{k}^{+}=-i \alpha_{k} \int_{C}^{D} e^{i \omega_{2} t} f_{k}^{+}\left(I^{0}, \omega_{1} t\right) d t, \\
\Sigma_{k}^{-}=i \alpha_{k} \int_{C}^{D} e^{-i \omega_{2} t} f_{k}^{-}\left(I^{0}, \omega_{1} t\right) d t, \\
\bar{\sigma}_{k}^{+}=\sigma_{k}^{-}, \quad \bar{\Sigma}_{k}^{+}=\Sigma_{k}^{-}, \quad k=1,2,3 .
\end{array}
\]

Покажем, что
\[
\Sigma_{k}^{ \pm}=-e^{\mp n \alpha \mp 2 \sigma} \sigma_{k}^{ \pm}, \quad k=1,3 ; \quad \Sigma_{2}^{ \pm}=e^{\mp n \alpha \mp 2 \sigma} \sigma_{k}^{ \pm} .
\]

Действительно, заменяя переменные по формуле $t=z+i \alpha / \omega_{1}$, получим
\[
\Sigma_{1}^{+}=-i \alpha_{1} e^{-n \alpha-2 \sigma} \int_{\tau+T}^{\tau} e^{i \omega_{2} z} f_{1}^{+}\left(I^{0}, \omega_{1} z\right) d z=-e^{-n \alpha-2 \sigma} \sigma_{1}^{+} .
\]

Аналогично доказываются остальные формулы (4.3).
Интеграл (4.1) с учетом формул (4.2) и (4.3) равен
\[
\begin{aligned}
\xi_{2} & =\sigma_{1}^{+}\left(1-e^{-n \alpha-2 \sigma}\right)+\sigma_{1}^{-}\left(1-e^{n \alpha+2 \sigma}\right)+ \\
& +\sigma_{2}^{+}\left(1+e^{-n \alpha-2 \sigma}\right)+\sigma_{2}^{-}\left(1+e^{n \alpha+2 \sigma}\right)+ \\
& +\sigma_{3}^{+}\left(1-e^{-n \alpha-2 \sigma}\right)+\sigma_{3}^{-}\left(1-e^{n \alpha+2 \sigma}\right) .
\end{aligned}
\]

Пусть
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}_{1}= & \sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 1}(I) e^{i\left(m \varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}+ \\
& +\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m,-1}(I) e^{i\left(m \varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 0}(I) e^{i m \varphi_{1}} .
\end{aligned}
\]

Коэффициенты этого разложения можно представить в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
H_{m, 1} & =\alpha_{1} H_{m, 1}^{(1)}+\alpha_{2} H_{m, 1}^{(2)}+\alpha_{3} H_{m, 1}^{(3)}, \\
H_{m,-1} & =\alpha_{1} H_{m,-1}^{(1)}+\alpha_{2} H_{m,-1}^{(2)}+\alpha_{3} H_{m,-1}^{(3)}, \\
H_{m, 0} & =\alpha_{1} H_{m, 0}^{(1)}+\alpha_{1} H_{m, 0}^{(2)}+\alpha_{3} H_{m, 0}^{(3)} .
\end{aligned}
\]

Справедливо равенство
\[
\begin{array}{l}
\Phi(t)=-\left.\frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial \varphi_{2}}\right|_{\substack{I=I^{0} \\
\varphi=\omega t}}=-i \sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 1}\left(I^{0}\right) e^{i\left(m \omega_{1}+\omega_{2}\right)} t+ \\
+i \sum_{-\infty}^{\infty} H_{m,-1}\left(I^{0}\right) e^{i\left(m \omega_{1}-\omega_{2}\right)} t
\end{array}
\]

Используя это соотношение, а также формулы (3.3) и (4.5), получим, что
\[
\sigma_{k}^{ \pm}=\mp i \alpha_{k} T H_{ \pm n, \mp 1}^{(k)}, \quad k=1,2,3 .
\]

Покажем, что $\xi_{2}\left(I^{0}\right)
eq 0$. Рассмотрим сначала случай, когда $n$ – четное целое число. Тогда (см. §1 гл. III)
\[
H_{-n, 1}^{(1)}=H_{n,-1}^{(1)}=H_{-n, 1}^{(2)}=H_{n,-1}^{(2)}=0 .
\]

Так как $I^{0} \in \mathscr{B}$, то $H_{-n, 1}^{(3)}\left(I^{0}\right)=\bar{H}_{n,-1}^{(3)}\left(I^{0}\right)
eq 0$. Значит, в этом случае $\sigma_{3}^{+}=\sigma_{3}^{-}
eq 0$. Если $\xi_{2}=0$, то из (4.4) вытекает равенство
\[
\left|\frac{1-e^{-n \alpha-2 \sigma}}{1-e^{n \alpha+2 \sigma}}\right|=\left|\frac{\sigma_{3}^{-}}{\sigma_{3}^{+}}\right|=1 .
\]

Следовательно,
\[
n \alpha\left(I^{0}\right)+2 \sigma\left(I^{0}\right)=0 .
\]

Пусть теперь $n$ – нечетно. Тогда согласно результатам § 1 гл. III $H_{-n, 1}^{(3)}=H_{n,-1}^{(3)}=0$, коэффициенты $H_{\mp n, \pm 1}^{(1)}$ действительные числа, а коэффициенты $H_{\mp n, \pm 1}^{(2)}$ чисто мнимы. Предположим, что $\xi_{2}=0$. Если $\alpha_{1}
eq 0$, то из (4.4) следует равенство
\[
\left|\frac{1-e^{-n \alpha-2 \sigma}}{1-e^{n \alpha+2 \sigma}}\right|=\left|\frac{\sigma_{1}^{-}}{\sigma_{1}^{+}}\right|=1,
\]

если же $\alpha_{2}
eq 0$, то
\[
\left|\frac{1+e^{-n \alpha-2 \sigma}}{1+e^{n \alpha+2 \sigma}}\right|=\left|\frac{\sigma_{2}^{-}}{\sigma_{2}^{+}}\right|=1 .
\]

В обоих случаях должно выполняться соотношение (4.6). Запишем его в явном виде:
\[
n \mathbf{K}^{\prime}(\Lambda)+F\left(\operatorname{arctg} \frac{\varkappa}{\Lambda}, \sqrt{1-\Lambda^{2}}\right)=0 .
\]

Устремим $|n|$ к бесконечности. Тогда $\omega_{2} / \omega_{1} \rightarrow \infty$ и $2 \mathscr{H}_{0} / I_{2}^{2} \rightarrow$ $\rightarrow 1 / B$ (теорема 1 гл. II). Значит, $\Lambda \rightarrow C / A<1$ и функции $\mathbf{K}^{\prime}$ и $F$ стремятся к определенным пределам. Так как
\[
\lim _{\Lambda \rightarrow C / A} \mathbf{K}^{\prime}(\Lambda)=\mathbf{K}^{\prime}(C / A)
eq 0
\]

и функция $\Lambda$ постоянна на прямых, образующих множество В $\subset \mathscr{B}$, то соотношение (4.7) не имеет места при $|n|>$ $>N(A, B, C)$. Теорема 2 доказана.