Козлов В. В.
Методы качественного анализа в динамике твердого тела.

Я дал лишь набросок этого метода, из которого, без сомнения, еще много можно извлечь.
A. Пуанкаре, Аналитическое резюме

В монографии излагаются современные математические методы качественного анализа динамических систем, применительно к классической задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой. Рассмотренные задачи группируются вокруг трех связанных друг с другом проблем: существование однозначных аналитических интегралов, периодические решения, малые знаменатели. Эти проблемы занимают одно из центральных мест в классической механике.

Первое издание вышло в 1980 году и давно стало библиографической редкостью. В новое издание вошла работа В. В. Козлова, посвященная исследованию уравнений Дуффинга.

Вниманию читателей предлагается второе издание монографии В. В. Козлова «Методы качественного анализа в динамике твердого тела». Эта книга вышла 20 лет назад и давно стала библиографической редкостью. По сути дела, она является докторской диссертацией В. В. Козлова, защищенной в 1978 году.

Эта монография оказала существенное влияние на развитие современной аналитической динамики и теории динамических систем. Ряд изложенных в ней результатов стали классическими, часто цитируются и развиты многими авторами в различных направлениях.

В первых трех главах содержится решение проблемы Пуанкаре о несуществовании дополнительного аналитического первого интеграла уравнений вращения тяжелого несимметричного волчка, поставленной в знаменитых «Новых методах небесной механики». В четвертой главе рассмотрены динамические эффекты, препятствующие интегрируемости несимметричного волчка: рождение бесконечного числа невырожденных долгопериодических решений и расщепление сепаратрис. Впоследствии автор этой книги связал два указанных явления, оба из которых восходят к Пуанкаре. В приложении приводится доклад В. В. Козлова на семинаре в Институте машиноведения РАН, в котором демонстрируется превосходство методов Пуанкаре над стандартными методами теории колебаний при изучении периодических колебаний в системах Дуффинга. В пятой главе приведено решение старой проблемы Пенлеве-Голубева о связи между ветвлением решений уравнений динамики в комплексной плоскости времени и существованием новых однозначных первых интегралов. Эти результаты дали сильный толчок исследованиям по проблеме точной интегрируемости уравнений движения. Современное состояние этой теории изложено в недавней книге В. В. Козлова «Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике» (Ижевск, Издательство Удмуртского университета, 1995).

В шестой главе развиваются вариационные методы изучения траекторий в областях возможных движений с краем. После теоремы Зейферта 1948 года о либрациях в диске, основные результаты в этом направлении получены В. В. Козловым и С. В. Болотиным. Обзор достижений в этой области содержится в работе В. В. Козлова «Вариационное исчисление в целом и классическая механика» (Успехи математических наук, 1985, том 40, выпуск 2, с. 33-60).

Заключительные главы 7-9 посвящены качественной картине вращения тяжелого волчка в наиболее сложных случаях интегрируемости Горячева-Чаплыгина и Ковалевской. Как ни странным это кажется сегодня, но до работ В. В. Козлова эти задачи вообще не связывались с теорией условно-периодических функций. Центральной здесь является глава 8 и особенно теорема о равномерной возвращаемости интеграла от двухчастотной функции с нулевым средним. В. В. Козлов ставил вопрос о распространении этого результата на многочастотный случай. Эта задача оказалась довольно трудной, и лишь недавно положительный ответ получен С. В. Конягиным для нечетных функций и Н. Г. Мощевитиным в общем случае. Более того, как показал Н. Г. Мощевитин, свойство равномерной возвращаемости теряется уже для интегралов от трехчастотных функций.

По прошествии двадцати лет книга является вполне современной. Она не отягощена общностью и абстрактностью изложения, и ее смело можно рекомендовать молодым исследователям как введение в широкую область современных качественных методов.
1 января 2000 года В. В. Козлову исполнилось 50 лет. В этом же году он был избран действительным членом Российской Академии наук. Со стороны НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» издание этой книги — скромный дар крупнейшему ученому и замечательному человеку.