Эта натуральная механическая система рассматривалась в § 4 гл. III. Она имеет три степени свободы, конфигурационное пространство есть группа $S O(3)$. Задача инвариантна при действии группы вращении $g^{s}(s \in[0,2 \pi))$ относительно оси симметрии силового поля. Группе $g^{s}$ соответствует циклический интеграл – интеграл площадей. Через $j$ обозначим его постоянную.

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периодических движений тела в трехмерном пространстве. Пусть $h=\omega$ – максимальное критическое значение интеграла энергии. При $h>\omega$ область возможных движений совпадает со всей $S O(3)$. На любом римановом $S O(3)$ существует по крайней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентными вращениями). При остальных некритических $h$ область $D$ имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. $\S 4$ гл. III), то каждая связная компонента области возможных движений согласно $[55,56]$ диффеоморфна $\mathbf{T}^{2} \times[0,1]\left(\mathbf{T}^{2}\right.$ – двумерный тор) или $S^{1} \times D^{2}$ ( $S^{1}$ – окружность, а $D^{2}$ – двумерный диск). В первом случае граница $\partial D$ состоит из двух связных многообразий, диффеоморфных $\mathbf{T}^{2}$, и, следовательно, по теореме 3 существует, по крайней мере, одно либрационное периодическое

движение тела. Это периодическое решение уравнений движения лежит на нулевом уровне интеграла площадей, так как при $j
eq 0$ скорость тела никогда не обращается в нуль. Если $\gamma(t)$ – либрационное решение, то $g^{s}(\gamma), s \in[0,2 \pi)$ тоже либрационное периодическое решение. Так как $\gamma$ не является перманентным вращением, то $g^{s}(\gamma)
eq \gamma$ при $s \in[0,2 \pi)$. Следовательно, в области $\mathbf{T}^{2} \times[0,1]$ существует целое однопараметрическое свойство либрационных движений.

В общем случае осесимметричного силового поля либрационные движения тела тоже, очевидно, лежат на множестве $\{j=0\}$. Поэтому рассмотрим подробнее случай, когда $j=0$. Наличие группы симметрий позволяет факторизацией по $g^{s}$ свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Ясно, что $S O(3) / g^{s}=S^{2}$ (сфера Пуассона). Понижая по Раусу порядок системы в локальных обобщенных координатах $\vartheta, \varphi, \psi$ (углы Эйлера), получим натуральную систему с двумя стененями свободы, в которой
\[
\mathscr{T}=\frac{a \dot{\vartheta}^{2}}{2} b \dot{\vartheta} \varphi+\frac{c \dot{\varphi}^{2}}{2},
\]

где
\[
\begin{aligned}
K a & =A B \sin ^{2} \vartheta+C \cos ^{2} \vartheta\left(A \cos ^{2} \varphi+B \sin ^{2} \varphi\right), \\
K b & =(B-A) C \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \varphi \cos \varphi, \\
K c & =C \sin ^{2} \vartheta\left(A \sin ^{2} \varphi+B \cos ^{2} \varphi\right), \\
K & =A \sin ^{2} \vartheta \sin ^{2} \varphi+B \sin ^{2} \vartheta \cos ^{2} \varphi+C \cos ^{2} \vartheta,
\end{aligned}
\]
$\mathscr{V}$ – потенциал силового поля.
Нетрудно показать, что $\mathscr{T}$ – положительно определенная квадратичная форма. Докажем, что $\mathscr{T}$ и $\mathscr{V}$ определенные при $\vartheta
eq 0, \pi$, аналитически продолжаются на всю сферу Пуассона. Этот факт очевиден для потенциала $\mathscr{V}$. Рассмотрим форму $\mathscr{T}$ в локальных координатах $x=\sin \vartheta \sin \varphi, y=\sin \vartheta \cos \varphi$ на $S^{2}$, не имеющих особенностей в полюсах:
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{T}=\frac{\xi \dot{x}^{2}}{2}+\eta \dot{x} \dot{y}+\frac{\zeta \dot{y}^{2}}{2}, \\
K \xi=\frac{A B x^{2}}{1-x^{2}-y^{2}}+B C, \quad K \eta=\frac{A B x y}{1-x^{2}-y^{2}},
\end{array}
\]

\[
K \zeta=\frac{A B y^{2}}{1-x^{2}-y^{2}+A C}, \quad K=A x^{2}+B y^{2}+C\left(1-x^{2}-y^{2}\right) .
\]

Так как форма $\mathscr{T}$ аналитически зависит от $x$ и $y$ при малых значениях этих переменных, то высказанное утверждение доказано.

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При $h>\omega$ область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые несамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений $[57]^{1}$. Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмушения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. § 2, 3 гл. IV).

Покажем, что при остальных некритических значениях полной энергии существуют либрационные периодические движения. Действительно, в этих случаях каждая связная компонента области возможных движений диффеоморфна диску $D^{2}$ с $n$ дырами ( $n \geqslant 0$ ). В случае диска ( $n=0$ ) существование либрационных периодических движений вытекает из известной теоремы Г.Зейферта [90], а в случае $n \geqslant 1$ либрации существуют согласно заключению теоремы 3. Причем, во втором случае можно утверждать больше: существуют по крайней мере $n(n \geqslant 1)$ различных либрационных движений с несамопересекающимися траекториями.

Если твердое тело вращается в поле сил тяжести, то, как нетрудно показать, область возможных движений диффеоморфна двумерному диску $D^{2}(n=0)$. В случае ньютоновского поля сил связные компоненты области возможных движений могут быть уже двух типов: либо кольцо $S^{1} \times[0,1]$ $(n=1)$, либо диск $D^{2}(n=0)[55,56]$. Во всех этих случаях существуют либрационные периодические движения, причем в кольце существует либрация с самонепересекающейся траекторией.

Замечание. Существование либрационного решения в кольцевой области приведенной системы вытекает, конечно, из результата о либрационных движениях тела в области $\mathbf{T}^{2} \times[0,1] \subset S O(3)$.

Подводя итог сказанному, получаем следующий замечательный результат: если $j=0$, то на любом некритическом уровне интеграла энергии приведенной системы существует хотя бы одно периодическое движение.