Из формулы (4.2) главы II следует, что разложение возмущающей функции $\mathscr{H}_{1}$ в двойной ряд Фурье имеет вид
\[
\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 1} e^{i\left(m \varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m,-1} e^{i\left(m \varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 0} e^{i m \varphi_{1}} .
\]

Коэффициенты этого разложения зависят от $I_{1}, I_{2}, I_{3}$. Их легко вычислить, использовав формулы § 4 главы II.

Функция Гамильтона $\mathscr{H}$ определена и аналитична по переменным $I_{1}, I_{2}$ в области
\[
\Delta_{a}^{0}=\Delta_{a} \cap\left\{\left(I_{1}, I_{2}\right):\left|I_{3}^{0}\right|<I_{2}\right\} .
\]

В частности, коэффициенты (1.1) аналитичны в $\Delta_{a}^{0}$.
Согласно определению $1 \S 1$ главы 1 вековым множеством системы с гамильтонианом $\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1}$ называется множество точек $I=\left(I_{1}, I_{2}\right) \in \Delta_{a}^{0}$, удовлетворяющих условиям:
1) $m \omega_{1}(I) \pm \omega_{2}(I)=0 ; \omega_{i}=\partial \mathscr{H}_{0} / \partial I_{i}(i=1,2), m \in \mathbf{Z}$;
2) $H_{m, \pm 1}(I)
eq 0$.
Теорема 1. В каждой из четырех связных подобластей области $\Delta_{a}^{0}$ множество $\mathscr{B}$ состоит из бесконечного числа прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые накапливаются у одной из двух прямых линий
\[
2 \mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=I_{2}^{2} / B,
\]

лежащих на границе $\Delta_{a}^{0}$.
ДоКазатЕльСтво.
Из результатов § 2 гл. II следует, что множество точек из области $\Delta^{0}=\Delta \cap\left\{\left|I_{3}^{0}\right|<I_{2}\right\}$, удовлетворяющих уравнению
\[
m \omega_{1}=\omega_{2}=0
\]

при достаточно больших фиксированных $m$ и выборе знака перед частотой $\omega_{2}$ (когда $I_{1}>0$, то при $m>0(<0)$ выбирается знак – (+); когда $I_{1}<0$, то наоборот), суть четыре прямые линии (по одной в каждой связной компоненте области $\Delta_{a}^{0}$ ), проходящие через начало координат $I_{1}=I_{2}=0$. Ниже будет показано, что для бесконечного числа значений $m \in \mathbf{Z}$ функции $H_{m, \pm 1}(I)$ отличны от нуля на прямых (1.2). Использовав теорему 1 гл. II, легко найти множество предельных точек для $\mathscr{B}$. Для этого устремим в уравнении (1.2) $m$ к бесконечности. Тогда
\[
\left|\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}\right|=|\gamma(p ; A, B, C)| \rightarrow \infty .
\]

Согласно теореме 1 (гл. II) величина $p=2 \mathscr{H}_{0} / I_{2}^{2}$ стремится к $1 / B$ ( $B$ – средний момент инерции). Итак, множество

предельных точек для $\mathscr{B}$ – две прямые линии
\[
2 \mathscr{H}_{0}\left(I_{1}, I_{2}\right)=\frac{1}{B} I_{2}^{2},
\]

которые лежат на границе $\Delta_{a}$ и пересекаются в начале координат.

Осталось показать, что в разложении (1.1) бесконечно много коэффициентов вида $H_{m, \pm 1}$ отличны от нуля. Рассмотрим три случая:
1) $x^{2}+y^{2}=0, z
eq 0$
2) $x^{2}+y^{2}
eq 0, z=0$
3) $x^{2}+y^{2}
eq 0, z
eq 0$.
Пусть сначала центр тяжести лежит на оси $O z$ (случай 1). Согласно формулам $\S 4$ гл. II в этом случае $m$ – четные целые числа. Пусть $m=2 n, n \in \mathbf{N}$ – натуральное число. Случай $m=-2 n, n \in \mathbf{N}$ рассматривается аналогично. Используя формулу (4.2) (гл. II), разложения Фурье для $s_{13}, s_{23}, s_{33}$, а также формулы
\[
\sin \varphi=\frac{1}{2 i}\left(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}\right), \quad \cos \varphi=\frac{1}{2}\left(e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}\right),
\]

нетрудно установить, что
\[
\begin{aligned}
H_{2 n,-1}=\bar{H}_{-2 n, 1} & =\frac{z}{4 r} \frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \times \\
\times \sin \delta & \frac{q^{n}\left(1+q^{2 n}\right) \operatorname{sh} \sigma-q^{n}\left(1-q^{2 n}\right) \operatorname{ch} \sigma}{1-2 q^{2 n} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n}} .
\end{aligned}
\]

Так как $\sin \delta
eq 0$ (в противном случае $\left|I_{3}^{0}\right|=I_{2}$ ), то коэффициент $H_{2 n,-1}$ равен нулю только в том случае, если
\[
\left(1-q^{2 n}\right) \operatorname{ch} \sigma-\left(1+q^{2 n}\right) \operatorname{sh} \sigma=0 .
\]

Когда $n \rightarrow \infty$, то согласно теореме 1 (гл. II) функция $p=$ $=2 \mathscr{H}_{0} / I_{2}^{2}$ стремится к $1 / B$. При этом, очевидно,
\[
\Lambda=\varkappa \sqrt{\frac{C p-1}{1-A p}} \rightarrow \sqrt{\frac{C}{A}}<1 .
\]

Так как $\Lambda$ – непрерывная функция от $p$ в некоторой окрестности точки $1 / B$, то существует номер $N_{1}(A, B, C)$, такой, что при $\omega_{2} / \omega_{1}=2 n>N_{1}$ справедливы неравенства
\[
0<\Lambda_{1}<\Lambda<\Lambda_{2}<1 ; \quad \Lambda_{1}, \Lambda_{2}=\text { const. }
\]

При этом, очевидно, $|\sigma|<\sigma_{0}$ и $|q|<q_{0}<1$ (числа $\Lambda_{1}, \Lambda_{2}$, $\sigma_{0}$ и $q_{0}$ в конечном счете зависят только от $\left.A, B, C\right)$. Следовательно, существует номер $N(A, B, C)\left(N>N_{1}\right)$ такой, что при $2 n>N$ равенство (1.4) не может выполняться.

Рассмотрим теперь случай 2 , когда $x^{2}+y^{2}
eq 0, z=0$. В этом случае числа $m$ нечетные. Согласно формуле (4.2) (гл. II)
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}_{1} & =\frac{x}{r}\left(\sin \delta \sin \varphi_{2} s_{11}+\sin \delta \cos \varphi_{2} s_{21}+\cos \delta s_{31}\right)+ \\
& +\frac{y}{r}\left(\sin \delta \sin \varphi_{2} s_{12}+\sin \delta \cos \varphi_{2} s_{22}+\cos \delta s_{32}\right) .
\end{aligned}
\]

Используя разложения Фурье функций $s_{i j}$, нетрудно установить, что для натуральных $n$
\[
\begin{aligned}
H_{2 n+1,-1}=\bar{H}_{-2 n-1,1}=\frac{x}{4 r} \frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \sin \delta \frac{1}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \times \\
\times \frac{q^{n+1 / 2}\left[\left(1+q^{2 n+1}\right) \operatorname{sh} \sigma-\left(1-q^{2 n+1}\right) \operatorname{ch} \sigma\right]}{1-2 q^{2 n+1} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n+2}}+ \\
\quad+i \frac{y}{4 r} \frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \sin \delta \sqrt{\frac{1+\varkappa^{2}}{\Lambda^{2}+\varkappa^{2}} \times} \\
\times \frac{q^{n+1 / 2}\left[\left(1-q^{2 n+1}\right) \operatorname{sh} \sigma-\left(1+q^{2 n+1}\right) \operatorname{ch} \sigma\right]}{1+2 q^{2 n+1} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n+2}} .
\end{aligned}
\]

Аналогичная формула справедлива для коэффициентов $H_{2 n+1,1}=\bar{H}_{-2 n-1,-1}$.

Так как $\sin \delta
eq 0$, то $H_{2 n+1,-1}=0$ только в том случае, если обращаются в нуль его действительная и мнимая части. Значит, когда $x
eq 0$, то
\[
\left(1+q^{2 n+1}\right) \operatorname{sh} \sigma-\left(1-q^{2 n+1}\right) \operatorname{ch} \sigma=0,
\]

а когда $y
eq 0$, то
\[
\left(1-q^{2 n+1}\right) \operatorname{sh} \sigma-\left(1+q^{2 n+1}\right) \operatorname{ch} \sigma=0 .
\]

Эти уравнения имеют вид равенства (1.4). Совершенно аналогично можно доказать существование такого $N(A, B, C)$, что соотношения (1.5) и (1.6) не имеют места при $2 n+1>N$. Следовательно, при достаточно больших $n$ коэффициенты $H_{2 n+1,1}
eq 0$.

Общий случай, когда $x^{2}+y^{2}
eq 0, z
eq 0$, очевидно, сводится к двум рассмотренным.

Напомним ( $\S 1$, гл. I), что вековым множеством мы называем также множество резонансных торов в фазовом пространстве невозмущенной задачи, отвечающих значениям переменных действие $I \in \mathscr{B}$. Опишем это множество, используя специальные канонические переменные $L, G, l, g$ (значение интеграла площадей $H=$ const зафиксировано).
Рассмотрим двумерное кольцо
\[
K=\left\{(l, L) \in \mathbf{R}^{2}: 0 \leqslant l \leqslant 2 \pi,|L| \leqslant G, G=G^{0}, g=0\right\},
\]

секущее трехмерный уровень интеграла модуля момента $G=$ const задачи Эйлера-Пуансо (ср. с § 1 гл. II). Траектории невозмущенной системы трансверсальны к кольцу $K$ всюду, кроме границ, которые представляют собой периодические решения – постоянные вращения вокруг большей оси инерции в противоположных направлениях. Любая точка $k$ кольца $K$ через некоторое время снова вернется на $K$.
Действительно, в силу уравнения Гамильтона
\[
\dot{g}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial G}
\]

где $\mathscr{H}_{0}$ определяется формулой
\[
\mathscr{H}_{0}=\frac{1}{2}\left(a \sin ^{2} l+b \cos ^{2} l\right)\left(G^{2}-L^{2}\right) \frac{c}{2} L^{2},
\]

будем иметь
\[
\dot{g}=G\left(a \sin ^{2} l+b \cos ^{2} l\right) .
\]

Так как $G=G^{0}
eq 0$ (безразличное равновесие тела, когда $G^{0}=0$, мы исключаем из рассмотрения), то $\dot{g}>\varepsilon>0$. Следовательно, за конечное время переменная $g$ станет равной $2 \pi$, и точка $k$ снова вернется на кольцо $K$, подойдя к ней с «противоположной стороны».

Таким образом, получаем естественное отображение $S$ внутренности кольца $K$ на себя. Используя интегральный инвариант Пуанкаре-Картана, нетрудно показать, что $S$ сохраіпет меру
\[

u(D)=\iint_{D} d L d l
\]
(см., например, $[23,24]$ ). Преобразование $S$ по непрерывности вращает границы $K$ в противоположных направлениях.

Задача Эйлера-Пуансо интегрируема, поэтому фазовое пространство расслоено на замкнутые двумерные поверхности
\[
\left\{G=G^{0}, \mathscr{H}_{0}=h\right\},
\]

которые являются в общем случае двумерными торами. Очевидно, что поверхности (1.7) пересекаются с кольцом $K$ по замкнутым инвариантным кривым отображения $S$, которые совпадают с линиями уровня функции $\mathscr{H}_{0}\left(\widehat{g} L G^{\circ}\right)$. Значит, кольцо $K$ расслоено на замкнутые инвариантные кривые отображения $S$. Эти кривые показаны на рис. 9 (чтобы получить эту картинку, надо отождествить на рис. 5 точки, $l$-координаты которых отличаются на $2 \pi$ ).
Неподвижные точки 1 и 2 соответствуют периодическим решениям – вращениям вокруг меньшей оси инерции в противоположных на-
Рис. 9 правлениях. Точки 3 и 4 тоже являются неподвижными точками отображения $S$. Им отвечают постоянные вращения вокруг средней оси инерции, которые имеют гиперболический тип. В невозмущенной интегрируемой задаче сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 сдвоены: они идут из седла в седло. Эти сепаратрисы разбивают кольцо $K$ на четыре связные подобласти $K_{i}(i=1,2,3,4)$.

После этого анализа легко представить себе двумерные инвариантные торы в задаче Эйлера-Пуансо. Они являются прямым произведением двух окружностей, одна из кото-

рых – линия уровня функции $\mathscr{H}_{0}\left(\widehat{l g} L G^{0}\right)$ на кольце $K$, другая – окружность $S^{1}\{g \bmod 2 \pi\}$. Иными словами, если сдвигать инвариантную кривую отображения вдоль окружностей
\[
S^{1}=\left\{L=L^{0}, G=G^{0}, l=l^{0}, 0 \leqslant g \leqslant 2 \pi\right\},
\]

то в результате получим как раз инвариантный двумерный тор невозмущенной системы уравнений.

Предложение 1. Пересечение $\mathscr{B} \cap K_{i}(i=1,2,3,4)$ состоит из бесконечного числа замкнутых инвариантных кривых отображения $S$; эти кривые накапливаются у сепаратрис, расположенных на границе области $K_{i}$.

Обозначим через $D$ область кольца $K$, содержащую сепаратрисы неустойчивых неподвижных точек 3 и 4.

Лемма 1. Множество $\mathscr{B} \cap K_{i} \cap D(i=1,2,3,4)$ является ключевым для класса $A(D)$.

ДоКаЗательСтво.
Пусть $f$ – аналитическая функция в области $D$, обращающаяся в нуль на $\mathscr{B} \cap K_{i}(i=1,2,3,4)$. Рассмотрим аналитическую кривую без особенностей $l(s):(\alpha, \beta) \rightarrow D$, проходящую через точку $d \in K_{i} \cap D$ и трансверсально пересекающую одну из сепаратрис. Согласно предложению 1 , эта линия пересечет бесконечно много замкнутых инвариантных кривых отображения $S$ из множества $\mathscr{B} \cap K_{i}$. Функция $f(l(s))$ аналитична в интервале ( $\alpha, \beta$ ), и ее нули имеют предельную точку внутри этого интервала. Следовательно, $f(l(s)) \equiv 0, s \in(\alpha, \beta)$ и, в частности, $f(d)=0$. Так как $d$ – любая точка внутри $K_{i} \cap D$, то $f \equiv 0$ в области $D$.