При исследовании интеграла
\[
I(t)=\int_{0}^{1} f\left(\omega_{1} t+\varphi_{1}^{0}, \ldots, \omega_{n} t+\varphi_{n}^{0}\right) d t
\]

наибольший интерес на практике представляет случай, когда функция $f$ аполитична на $\mathrm{T}^{n}$. Хорошо известно, что тогда анализ $I(t)$ приводит к сложным и тонким вопросам теории так называемых «малых знаменателей». Пусть, например,
\[
\begin{array}{c}
f\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}\right)=\sum_{m_{1}, m_{2}=1}^{\infty} f_{m_{1}, m_{2}} \cos \left(m_{1} \varphi_{1}+m_{2} \varphi_{2}\right), \\
\omega_{1}=1, \quad \omega_{2}=-\gamma<0, \quad \gamma \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q} ; \quad \varphi_{1}^{0}=\varphi_{2}^{0}=0 .
\end{array}
\]

Тогда
\[
I(t)=\sum_{m_{1}=1}^{\infty} \sum_{m_{2}=1}^{\infty} \frac{f_{m_{1}, m_{2}}}{m_{1}-\gamma m_{2}} \sin \left(m_{1}-m_{2} \gamma\right) t .
\]

Если $\gamma$ иррационально, то знаменатели $m_{1}-\gamma m_{2}$ отличны от нуля. Однако при достаточно больших значениях $m_{1}$ и $m_{2}$ эти числа могут быть сколь угодно малыми, что может привести к неравномерной сходимости ряда (1) и неограниченности функции $I(t)$.

Согласно известной теореме II. Боля функция I(t) ограничена тогда и только тогда, когда она квазипериодична. Необходимое условие квазипериодичности $I(t)$ заключается в требовании сходимости ряда
\[
\sum_{m_{1}=1}^{\infty} \sum_{m_{2}=1}^{\infty}\left(\frac{f_{m_{1}, m_{2}}}{m_{1}-\gamma m_{2}}\right)^{2}
\]

Очевидно также, что интеграл $I(t)$ ограничен, если ряд
\[
\sum_{m_{1}=1}^{\infty} \sum_{m_{2}=1}^{\infty}\left|\frac{f_{m_{1}, m_{2}}}{m_{1}-\gamma m_{2}}\right|
\]

сходится.
Первый нетривиальный результат в теории «малых делителей» принадлежит К. Брунсу. Он доказал, что
1) если $\gamma \in A$ ( $A$ — множество алгебраческих чисел, $\bar{A}=\mathbf{R})$, то ряд (3) сходится;
2) если все коэффициенты $f_{m_{1}, m_{2}}$ отличны от нуля, то существует множество $R, \bar{R}=\mathbf{R}$ такое, что при $\gamma \in R$ ряд (2) расходится.

Следующий важный результат принадлежит Гильдену. Он доказал, что для почти всех $\gamma$ (в смысле меры Лебега) ряд (3) сходится. Отметим, что в то время (1888 г.) не была развита теория меры, и Гильден использовал вероятностные термины: вероятность расходимости ряда (3) равна нулю.

Этот результат Гильдена ябляется следствием избестной теоремы, касающейся диофантовых приближений [65]: для почти всех $\gamma$ существуют постоянные $k(\gamma)$ и $K(\gamma)$ такие, что
\[
|m \gamma-n| \geqslant \frac{K}{|m|^{k}}
\]

при всех $m, n \in \mathbf{Z}$. В частности, все алгебраческие числа обладают этим свойством (теорема Лиувилля [65]).

С проблемой «малых делителей» приходится сталкиваться при решении многих задач математики и механики (см., например, $[9,29,77])$. Общей чертой здесь является применение теоретико-числовых оценок типа неравенства (4).

Указанные результаты не исчерпывают полностью проблемы: они оставляют открытым вопрос о поведении интеграла $I(t)$ в тех случаях, когда ряд (2) расходится. Известные примеры А. Пуанкаре показывают, насколько сложным может быть поведение функции $I(t)$ при $t \rightarrow \infty$ [75]. Утверждения гл. VIII вносят в этот вопрос определенную ясность.