Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике При исследовании интеграла наибольший интерес на практике представляет случай, когда функция $f$ аполитична на $\mathrm{T}^{n}$. Хорошо известно, что тогда анализ $I(t)$ приводит к сложным и тонким вопросам теории так называемых «малых знаменателей». Пусть, например, Тогда Если $\gamma$ иррационально, то знаменатели $m_{1}-\gamma m_{2}$ отличны от нуля. Однако при достаточно больших значениях $m_{1}$ и $m_{2}$ эти числа могут быть сколь угодно малыми, что может привести к неравномерной сходимости ряда (1) и неограниченности функции $I(t)$. Согласно известной теореме II. Боля функция I(t) ограничена тогда и только тогда, когда она квазипериодична. Необходимое условие квазипериодичности $I(t)$ заключается в требовании сходимости ряда Очевидно также, что интеграл $I(t)$ ограничен, если ряд сходится. Следующий важный результат принадлежит Гильдену. Он доказал, что для почти всех $\gamma$ (в смысле меры Лебега) ряд (3) сходится. Отметим, что в то время (1888 г.) не была развита теория меры, и Гильден использовал вероятностные термины: вероятность расходимости ряда (3) равна нулю. Этот результат Гильдена ябляется следствием избестной теоремы, касающейся диофантовых приближений [65]: для почти всех $\gamma$ существуют постоянные $k(\gamma)$ и $K(\gamma)$ такие, что при всех $m, n \in \mathbf{Z}$. В частности, все алгебраческие числа обладают этим свойством (теорема Лиувилля [65]). С проблемой «малых делителей» приходится сталкиваться при решении многих задач математики и механики (см., например, $[9,29,77])$. Общей чертой здесь является применение теоретико-числовых оценок типа неравенства (4). Указанные результаты не исчерпывают полностью проблемы: они оставляют открытым вопрос о поведении интеграла $I(t)$ в тех случаях, когда ряд (2) расходится. Известные примеры А. Пуанкаре показывают, насколько сложным может быть поведение функции $I(t)$ при $t \rightarrow \infty$ [75]. Утверждения гл. VIII вносят в этот вопрос определенную ясность.
|
1 |
Оглавление
|