Главная > МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. (В.В.Козлов)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В случае A=B можно считать, что y-координата центра тяжести равна нулю. Тогда согласно формулам (4.1) гл. II

функция Гамильтона (1.1) в специальных канонических переменных имеет вид
H=12AG2+12(1C1A)L2+μ[xr(HG1(LG)2sinl++LG1(HG)2sinlcosg+1(HG)2coslsing)++zr(LHG21(LG)21(HG)2cosg)]

где (x,0,z) — координаты центра тяжести в главных осях инерции, r=x2+z2. Отметим, что эти переменные являются переменными действие-угол интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо в симметричном случае.

Теорема 4. Пусть xeq0 и A=B>2C. Тогда на двумерных инвариантных торах
GA=±(1C1A)L,Geq0,Geq|H|

приведенной задачи Эйлера-Пуансо рождаются пары изолированных периодических решений возмущенной системы при малых μ. Они аналитически зависят от μ, и одно из решений каждой пары устойчиво в первом приближении, а другое неустойчиво.
Это утверждение доказывается так же, кан теорема 3 .
Замечание. Если A=B и x=0, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрушатся при добавлении возмущения; они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений.

Если A=B, то в невозмущенной задаче есть замечательное семейство периодических решений — постоянные вращения вокруг главных осей инерции, расположенных в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Траектории этих решений заполняют двумерный инвариантный тор
L=0,G=G0>0.

Исследуем бифуркацию этого семейства периодических решений.

Теорема 5. Пусть A=BeqC,xeq0 и Heq0,Geq|H|. Тогда на резонансных торах (3.6) приведенной задачи Эйлера-Пуансо рождаются пары изолрованных периодических решений возмущенной системы при малых значениях параметра μ. Они аналитически завистт от μ, и одно из решений каждой пары устойчиво в первом приближении, а другое неустойчиво.

ДоКаЗатЕЛЬСТво.
Положим l=ω1t+λ,g=ω2t(ω1=0,ω2=G0/A>0). Тогда
H1=xrHG0sinλ.

В предположениях теоремы 2H1/λ2eq0, когда 2H1/λ2= =0. Так как при AeqC невозмущенная задача невырождена и линии уровня функции H0 не имеют перегибов, то справедливость утверждения вытекает из теоремы Пуанкаре о рождении периодических решений.
Начальное значение λ найдется из равенства
H1λ=xrHG0cosλ=0.

Следовательно, при добавлении возмущения не исчезнут постоянные вращения твердого тела вокруг оси Ox (от которой наименее всего удален центр масс тела).

Замечание. С помощью теоремы Колмогорова-Арнольда [9] о сохранении условно-периодических движений и геометрической теоремы Пуанкаре [32] можно доказать, что при добавлении возмущения исчезают не все периодические решения, лежащие на любом инвариантном торе задачи Эйлера- Пуансо с рациональным числом вращения, а при малых μ остаются, по крайней мере, два ([4, добавление 9]). Неизвестно, правда, будут ли они изолированными и аналитически зависеть от μ.

1
Оглавление
email@scask.ru