В случае $A=B$ можно считать, что $y$-координата центра тяжести равна нулю. Тогда согласно формулам (4.1) гл. II

функция Гамильтона (1.1) в специальных канонических переменных имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}=\frac{1}{2 A} G^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{A}\right) L^{2}+\mu\left[\frac { x } { r } \left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sin l+\right.\right. \\
\left.+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin l \cos g+\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos l \sin g\right)+ \\
\left.+\frac{z}{r}\left(\frac{L H}{G^{2}}-\sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right)\right]
\end{array}
\]

где $(x, 0, z)$ – координаты центра тяжести в главных осях инерции, $r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}$. Отметим, что эти переменные являются переменными действие-угол интегрируемой задачи Эйлера-Пуансо в симметричном случае.

Теорема 4. Пусть $x
eq 0$ и $A=B>2 C$. Тогда на двумерных инвариантных торах
\[
\frac{G}{A}= \pm\left(\frac{1}{C}-\frac{1}{A}\right) L, \quad G
eq 0, \quad G
eq|H|
\]

приведенной задачи Эйлера-Пуансо рождаются пары изолированных периодических решений возмущенной системы при малых $\mu$. Они аналитически зависят от $\mu$, и одно из решений каждой пары устойчиво в первом приближении, а другое неустойчиво.
Это утверждение доказывается так же, кан теорема 3 .
Замечание. Если $A=B$ и $x=0$, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные инвариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрушатся при добавлении возмущения; они перейдут в резонансные торы возмущенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периодических решений.

Если $A=B$, то в невозмущенной задаче есть замечательное семейство периодических решений – постоянные вращения вокруг главных осей инерции, расположенных в экваториальной плоскости эллипсоида инерции. Траектории этих решений заполняют двумерный инвариантный тор
\[
L=0, \quad G=G_{0}>0 .
\]

Исследуем бифуркацию этого семейства периодических решений.

Теорема 5. Пусть $A=B
eq C, x
eq 0$ и $H
eq 0, G
eq|H|$. Тогда на резонансных торах (3.6) приведенной задачи Эйлера-Пуансо рождаются пары изолрованных периодических решений возмущенной системы при малых значениях параметра $\mu$. Они аналитически завистт от $\mu$, и одно из решений каждой пары устойчиво в первом приближении, а другое неустойчиво.

ДоКаЗатЕЛЬСТво.
Положим $l=\omega_{1} t+\lambda, g=\omega_{2} t\left(\omega_{1}=0, \omega_{2}=G^{0} / A>0\right)$. Тогда
\[
\overline{\mathscr{H}}_{1}=\frac{x}{r} \frac{H}{G_{0}} \sin \lambda .
\]

В предположениях теоремы $\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1} / \partial \lambda^{2}
eq 0$, когда $\partial^{2} \overline{\mathscr{H}}_{1} / \partial \lambda^{2}=$ $=0$. Так как при $A
eq C$ невозмущенная задача невырождена и линии уровня функции $\mathscr{H}_{0}$ не имеют перегибов, то справедливость утверждения вытекает из теоремы Пуанкаре о рождении периодических решений.
Начальное значение $\lambda$ найдется из равенства
\[
\frac{\partial \overline{\mathscr{H}}_{1}}{\partial \lambda}=\frac{x}{r} \frac{H}{G_{0}} \cos \lambda=0 .
\]

Следовательно, при добавлении возмущения не исчезнут постоянные вращения твердого тела вокруг оси $O x$ (от которой наименее всего удален центр масс тела).

Замечание. С помощью теоремы Колмогорова-Арнольда [9] о сохранении условно-периодических движений и геометрической теоремы Пуанкаре [32] можно доказать, что при добавлении возмущения исчезают не все периодические решения, лежащие на любом инвариантном торе задачи Эйлера- Пуансо с рациональным числом вращения, а при малых $\mu$ остаются, по крайней мере, два ([4, добавление 9]). Неизвестно, правда, будут ли они изолированными и аналитически зависеть от $\mu$.