В динамике твердого тела с неподвижной точкой удобно использовать специальные канонические переменные $L, G$, $H, l, g, h$. Описанию механического смысла этих переменных предпошлем некоторые обозначения: $O X Y Z$ — неподвижный

трехгранник с началом в точке подвеса; $О x y z$ — подвижная система координат (главные оси инерции); $\Sigma-$ плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента тела. В принятых обозначениях $L-$ проекция кинетического момента на подвижную ось $O z$ (или на оси $O x, O y$ ), $G$ — величина кинетического момен$G$ — величина кинетического момента, $H$ — проекция момента на неподвижную ось $O Z, l$ угол между осью $O x$ и линией пересечения $\Sigma$ с $O x y, g$ — угол между линиями пересечения $\Sigma$ с плоскостями $O x y$ и $O X Y$, $h$ — угол между осью $O X$ и линией пересечения $\Sigma$ с плоскостью $O X Y$ (см. рис. 4). Переменные $l, g, h$, сопряженные с $L, G, H$, являются углами, изменяющимися по модулю $2 \pi$.

Пусть, как обычно, $\vartheta, \varphi, \psi$ — углы Эйлера (обобщенные координаты в динамике твердого тела с неподвижной точкой), а $p_{\vartheta}, p_{\varphi}, p_{\psi}$ — им сопряженные канонические переменные.

Лемма 1. Аналитическое преобразование $\left(\vartheta, \varphi, \psi, p_{\vartheta}\right.$, $\left.p_{\varphi}, p_{\psi}\right) \rightarrow(l, g, h, L, H)$ — однородное каноническое:
\[
p_{\vartheta} d \vartheta+p_{\varphi} d \varphi+p_{\psi} d \psi=L d l+G d g+H d h .
\]

Это утверждение, доказываемое с помощью формул сферической тригонометрии, можно найти, например, в книгах $[15,26]$.

Из леммы 1 следует, в частности, что уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в переменных $l, g, h, L, G, H$ имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d l}{d t}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial L}, \quad \frac{d L}{d t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial l}, \quad \frac{d g}{d t}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial G}, \\
\frac{d G}{d t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial g}, \quad \frac{d h}{d t}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial H}, \quad \frac{d H}{d t}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial h}
\end{array}
\]

где $\mathscr{H}$ — полная энергия тела, записанная в этих координатах.
Главные моменты инерции твердого тела будем обозначать всюду через $A, B, C$. Наравне с главными моментами

инерции мы будем использовать им обратные величины, которые обозначим соответственно $a, b, c$.

Пусть $p, q, r$ — проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инерции $O x, O y, O z$. Тогда $A p, B q, C r$ — проекции кинетического момента на те же оси. Из определения специальных канонических переменных нетрудно получить, что
\[
A p=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad B q=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, \quad C r=L .
\]

Кинетическая энергия тела (гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо) равна
\[
\mathscr{T}=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin ^{2} l}{A}+\frac{\cos ^{2} l}{B}\right)\left(G^{2}-L^{2}\right)+\frac{L^{2}}{2 C} .
\]

Отметим, что специальные канонические переменные в динамике твердого тела аналогичны каноническим переменным Делоне в интегрируемой задаче двух тел [17].
Область возможных значений $L$ и $G$ есть
\[
\Delta=\left\{(L, G) \in \mathbf{R}^{2}: G \geqslant 0,|L| \leqslant G\right\} .
\]

Не теряя общности, можно считать, что $A \geqslant B \geqslant C$.
При фиксированном значении $G
eq 0$ линии уровня функции $\mathscr{T}$ на плоскости $(l, L) \in \mathbf{R}^{2}$ изображены на рис. 5. Заметим, что точки на этой плоскости, $l$-координаты которых отличаются на $2 \pi$, соответствуют одним и тем же точкам фазового пространства. Производя соответствующее отождествление, получим двумерное кольцо $K$, расслоенное на замкнутые линии уровня функции $\mathscr{T}$.

В задаче Эйлера-Пуансо обычным способом введем переменные действие $[18]: I_{3}=H, I_{2}=G$,
\[
I_{1}\left(I_{2}, \mathscr{T}\right)=\frac{1}{2 \pi} \oint \sqrt{\frac{2 \mathscr{T}-I_{2}^{2}\left(a \sin ^{2} l+b \cos ^{2} l\right)}{c-a \sin ^{2} l-b \cos ^{2} l}} d l .
\]

В последней формуле интегрирование производится по замкнутым кривым, на которые расслоено кольцо $K$ (подробности

Рис. 5

см. в $[4,19]$ ). Сопряженные с $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ переменные выражаются через $l, g, h$ эллиптическими квадратурами.

Область $\Delta$ в координатах $I_{1}, I_{2}$ есть снова $\Delta=\left\{I_{1}, I_{2}\right.$ : $\left.I_{2} \geqslant 0,\left|I_{1}\right| \leqslant I_{2}\right\}$. В канонических переменных действиеугол $I, \varphi$ функция $\mathscr{T}$ имеет вид $\mathscr{T}\left(I_{1} I_{2} \widehat{I}_{3} \widehat{\varphi}_{1} \widehat{\varphi}_{2} \widehat{\varphi}_{3}\right)$, то есть зависит только от $I_{1}, I_{2}$. Используя формулу (1.1), легко получить, что линии уровня функции $2 \mathscr{T}\left(I_{1}, I_{2}\right) / I_{2}^{2}$ в координатах действие суть прямые линии, проходящие через начало координат. Прямые $I_{1}=0,\left|I_{1}\right|=I_{2}$ (лежащие в $\Delta$ ) отвечают вращениям твердого тела вокруг меньшей и большей осей инерции. Вращениям вокруг средней оси инерции соответствуют точки из $\Delta$, расположенные на двух прямых $2 \mathscr{T}\left(I_{1}, I_{2}\right)=b I_{2}^{2}$.

Отметим, что положение прямых линий $2 \mathscr{T}=b I_{2}^{2}$ зависит от двух параметров — отношении моментов инерции тела. Когда $B \rightarrow A$, эти прямые стремятся к прямой $I_{1}=0$; когда $B \rightarrow C$, они стремятся к паре прямых $\left|I_{1}\right|=I_{2}$.

Лемма 2. Функция $\mathscr{T}\left(I_{1}, I_{2}\right)$ непрерывна, является однородной степени 2 в $\Delta$ и аналитична в области
\[
\Delta_{a}=\Delta \backslash\left(\left\{I_{1}=0\right\} \cup\left\{2 \mathscr{T}=b I_{2}^{2}\right\} \cup\left\{\left|I_{1}\right|=I_{2}\right\}\right) .
\]

Доказательство легко следует из формулы (1.1).
Отметим, что если $A>B>C$, то три прямые линии $I_{1}=0,2 \mathscr{T}=B^{-1} I_{2}^{2}$ не лежат в области аналитичности функции $\mathscr{T}\left(I_{1}, I_{2}\right)$. Более точно, при фиксированном $I_{2}=I_{2}^{0}
eq 0$

функция $\mathscr{T}\left(I_{1}, I_{2}^{0}\right)$ не аналитична в окрестности точек $I_{1}=0$, $I_{1}=J: \mathscr{T}\left(J, I_{2}^{0}\right)=b\left(I_{2}^{0}\right)$. Неаналитичность в окрестности нуля вытекает из того, что
\[
\lim _{I_{1} \rightarrow+0} \frac{\partial \mathscr{T}}{\partial I_{1}}=-\lim _{I_{1} \rightarrow-0} \frac{\partial \mathscr{T}}{\partial I_{1}}
eq 0,
\]

а в окрестности точки $I_{1}=J$ это доказывается так же, как для гамильтониана математического маятника ( $\S 4$, гл. 1 ).

Положим $\omega_{i}(I)=\partial \mathscr{T} / \partial I_{i}(i=1,2)$. Величины $\omega_{1}, \omega_{2}$ являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо.
Рассмотрим в области $\Delta$ линию уровня функции $\mathscr{T}$ :
\[
I_{1}=I_{1}\left(I_{2}, \mathscr{T}\right), \quad \mathscr{T}=\text { const. }
\]

Лемма 3. Іри $I_{1} \geqslant 0, I_{2} \geqslant 0$ функция $I_{1}\left(I_{2}, \mathscr{T}\right)$ непрерывна и монотонно убывает, причем $\partial I_{1} / \partial I_{2}=-\omega_{2} / \omega_{1}$.
Действительно, дифференцируя тождество
\[
\mathscr{T}\left(I_{1}\left(I_{2}, \mathscr{T}\right), I_{2}\right)=\mathscr{T}
\]

по $I_{2}$, получим, что
\[
\frac{\partial \mathscr{T}}{\partial I_{1}} \frac{\partial I_{1}}{\partial I_{2}}+\frac{\partial \mathscr{T}}{\partial I_{2}} \equiv 0
\]

Откуда
\[
\frac{\partial I_{1}}{\partial I_{2}}=-\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}} .
\]

Из формулы дифференцирования интеграла вида (1.1) по параметру
\[
\frac{\partial}{\partial \beta} \oint f(\beta, x) d x=\oint \frac{\partial}{\partial \beta} f(\beta, x) d x
\]

получим следующее соотношение:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=-\frac{\partial I_{1}}{\partial I_{2}}= \\
=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{\left(a \sin ^{2} l+b \cos ^{2} l\right) d l}{\sqrt{\left(p-a \sin ^{2} l-b \cos ^{2} l\right)\left(c-a \sin ^{2} l-b \cos ^{2} l\right)}},
\end{array}
\]

где
\[
p=\frac{2 \mathscr{T}}{I_{2}^{2}}=\mathrm{const} \quad(1 / A<p<1 / C, \quad p
eq 1 / B) .
\]

Из (1.3) следует, что при $I_{1} \geqslant 0$ производная $\partial I_{1} / \partial I_{2}<0$.
Положим
\[
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\gamma(p ; A, B, C) .
\]

Значения функции $\gamma$ являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих двумерных торах задачи Эйлера — Пуансо ( $[1$, п. $86 ; 20]$ ).

Лемма 4. Если $p \in(1 / A, 1 / B)$, то $\partial \gamma / \partial p>0$; если $p \in(1 / B, 1 / C)$, mo $\partial \gamma / \partial p<0$.

ДоКазательСТво.
Рассмотрим сначала случай, когда $1 / B<p<1 / C$. Продифференцируем соотношение (1.3) по параметру $p$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \gamma}{\partial p}=-\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{\sqrt{\left(p-a \sin ^{2} l-b \cos ^{2} l\right)^{3}}} \times \\
\times \frac{\left(a \sin ^{2} l+b \cos ^{2} l\right) d l}{\sqrt{c-a \sin ^{2} l-b \cos ^{2} l}}<0 . \\
\end{array}
\]

Пусть теперь $1 / A<p<1 / B$. В этом случае для интеграла (1.3) формула (1.2) уже несправедлива. Для вычисления $\partial \gamma / \partial p$ в интеграле (1.3) сделаем замену переменной по формуле $x=\mp \cos l$ (знак — [+] выбирается в том случае, когда интегрирование производится по замкнутому контуру на плоскости $(L, l) \in \mathbf{R}^{2}$, охватывающему точку $(0, \pi / 2)$ $[(0,-\pi / 2)])$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\gamma=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left[(c-a)+(b-a) x^{2}\right]}} \times \\
\times \frac{\left[a+(b-a) x^{2}\right] d x}{\sqrt{\left[(p-a)-(b-a) x^{2}\right]}} .
\end{array}
\]

Выполним еще раз замену переменной согласно формуле
\[
x=\sqrt{\frac{p-a}{b-a}} \sin y .
\]

Тогда
\[
\gamma=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{1}{\sqrt{(b-a)-(p-a) \sin ^{2} y}} \frac{\left[a+(b-a) \sin ^{2} y\right] d y}{\sqrt{(c-a)-(p-a) \sin ^{2} y}} .
\]

Обозначим подынтегральную функцию через $\Phi(p, y)$. Нетрудно показать, что
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial p}>0
\]

когда $y \in[-\pi / 2, \pi / 2] \backslash\{0\}, p \in(a, b)$. Следовательно, при $a<p<b$
\[
\frac{\partial \gamma}{\partial p}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\partial \Phi}{\partial p} d y>0
\]

Предложение 1. Если твердое тело несимметрично, то линии уровня функиии $\mathscr{T}\left(I_{1}, I_{2}\right)$ не имеют перегибов в области $\Delta_{a}$.

ДоКазательство.
Достаточно, очевидно, показать, что
\[
\frac{\partial^{2} I_{1}}{\partial I_{2}^{2}}
eq 0, \quad I_{1}=I_{1}\left(I_{2}, \mathscr{T}\right), \quad \mathscr{T}=\text { const. }
\]

Так как
\[
\frac{\partial^{2} I_{1}}{\partial I_{2}^{2}}=-\frac{\partial}{\partial I_{2}} \gamma(p ; A, B, C)=-\frac{\partial \gamma}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial I_{2}}=\frac{\partial \gamma}{\partial p} \frac{4 \mathscr{T}}{I_{2}^{3}},
\]

то согласно лемме $4 \partial^{2} I_{1} / \partial I_{2}^{2}>0$ при $p \in(1 / A, 1 / B)$ и $\partial^{2} I_{1} / \partial I_{2}^{2}<0$ при $p \in(1 / B, 1 / C)$.

Замечание. Условие отсутствия перегибов у линий уровня функции $\mathscr{T}$ можно представить аналитически в следующем виде:
\[
\frac{\partial^{2} \mathscr{T}}{\partial I_{1}^{2}} \omega_{2}^{2}-2 \frac{\partial^{2} \mathscr{T}}{\partial I_{1} \partial I_{2}} \omega_{1} \omega_{2}+\frac{\partial^{2} \mathscr{T}}{\partial I_{2}^{2}} \omega_{1}^{2}
eq 0
\]

На рис. 6 изображены линии уровня функции $\mathscr{T}$ (ясно, что все они подобны). Область $\Delta$ заштрихована, и выделены две прямые $2 \mathscr{T}=B^{-1} I_{2}^{2}$.