В динамике твердого тела с неподвижной точкой удобно использовать специальные канонические переменные $L,G$, $H,l,g,h$. Описанию механического смысла этих переменных предпошлем некоторые обозначения: $OXYZ$ — неподвижный

трехгранник с началом в точке подвеса; $Оxyz$ — подвижная система координат (главные оси инерции); $\mathrm{\Sigma }-$ плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента тела. В принятых обозначениях $L-$ проекция кинетического момента на подвижную ось $Oz$ (или на оси $Ox,Oy$ ), $G$ — величина кинетического момен$G$ — величина кинетического момента, $H$ — проекция момента на неподвижную ось $OZ,l$ угол между осью $Ox$ и линией пересечения $\mathrm{\Sigma }$ с $Oxy,g$ — угол между линиями пересечения $\mathrm{\Sigma }$ с плоскостями $Oxy$ и $OXY$, $h$ — угол между осью $OX$ и линией пересечения $\mathrm{\Sigma }$ с плоскостью $OXY$ (см. рис. 4). Переменные $l,g,h$, сопряженные с $L,G,H$, являются углами, изменяющимися по модулю $2\pi$.

Пусть, как обычно, $\vartheta ,\phi ,\psi$ — углы Эйлера (обобщенные координаты в динамике твердого тела с неподвижной точкой), а $p_{\vartheta },p_{\phi },p_{\psi }$ — им сопряженные канонические переменные.

Лемма 1. Аналитическое преобразование $(\vartheta ,\phi ,\psi ,p_{\vartheta }$, $p_{\phi },p_{\psi })\to (l,g,h,L,H)$ — однородное каноническое:
$$p_{\vartheta }d\vartheta +p_{\phi }d\phi +p_{\psi }d\psi =Ldl+Gdg+Hdh.$$

Это утверждение, доказываемое с помощью формул сферической тригонометрии, можно найти, например, в книгах $[15,26]$.

Из леммы 1 следует, в частности, что уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в переменных $l,g,h,L,G,H$ имеют вид:
$$\begin{array}{c}\frac{dl}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial L},\frac{dL}{dt}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial l},\frac{dg}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial G},\\ \frac{dG}{dt}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial g},\frac{dh}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial H},\frac{dH}{dt}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial h}\end{array}$$

где $\mathcal{H}$ — полная энергия тела, записанная в этих координатах.
Главные моменты инерции твердого тела будем обозначать всюду через $A,B,C$. Наравне с главными моментами

инерции мы будем использовать им обратные величины, которые обозначим соответственно $a,b,c$.

Пусть $p,q,r$ — проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инерции $Ox,Oy,Oz$. Тогда $Ap,Bq,Cr$ — проекции кинетического момента на те же оси. Из определения специальных канонических переменных нетрудно получить, что
$$Ap=\sqrt{G^2-L^2}\sin l,Bq=\sqrt{G^2-L^2}\cos l,Cr=L.$$

Кинетическая энергия тела (гамильтониан задачи Эйлера-Пуансо) равна
$$\mathcal{T}=\frac{1}{2}(A{p}^2+B{q}^2+C{r}^2)=\frac{1}{2}(\frac{{\sin }^{2}l}{A}+\frac{{\cos }^{2}l}{B})(G^2-L^2)+\frac{L^2}{2C}.$$

Отметим, что специальные канонические переменные в динамике твердого тела аналогичны каноническим переменным Делоне в интегрируемой задаче двух тел [17].
Область возможных значений $L$ и $G$ есть
$$\mathrm{\Delta }=\{(L,G)\in {\mathbf{R}}^2:G⩾0,|L|⩽G\}.$$

Не теряя общности, можно считать, что $A⩾B⩾C$.
При фиксированном значении $Geq0$ линии уровня функции $\mathcal{T}$ на плоскости $(l,L)\in {\mathbf{R}}^2$ изображены на рис. 5. Заметим, что точки на этой плоскости, $l$-координаты которых отличаются на $2\pi$, соответствуют одним и тем же точкам фазового пространства. Производя соответствующее отождествление, получим двумерное кольцо $K$, расслоенное на замкнутые линии уровня функции $\mathcal{T}$.

В задаче Эйлера-Пуансо обычным способом введем переменные действие $[18]:I_3=H,I_2=G$,
$$I_1(I_2,\mathcal{T})=\frac{1}{2\pi }\oint \sqrt{\frac{2\mathcal{T}-I_2^2(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)}{c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l}}dl.$$

В последней формуле интегрирование производится по замкнутым кривым, на которые расслоено кольцо $K$ (подробности

Рис. 5

см. в $[4,19]$ ). Сопряженные с $I_1,I_2,I_3$ переменные выражаются через $l,g,h$ эллиптическими квадратурами.

Область $\mathrm{\Delta }$ в координатах $I_1,I_2$ есть снова $\mathrm{\Delta }=\{I_1,I_2$ : $I_2⩾0,\left|I_1\right|⩽I_2\}$. В канонических переменных действиеугол $I,\phi$ функция $\mathcal{T}$ имеет вид $\mathcal{T}\left(I_1{I}_2{\hat{I}}_3{\hat{\phi }}_1{\hat{\phi }}_2{\hat{\phi }}_3\right)$, то есть зависит только от $I_1,I_2$. Используя формулу (1.1), легко получить, что линии уровня функции $2\mathcal{T}(I_1,I_2)/I_2^2$ в координатах действие суть прямые линии, проходящие через начало координат. Прямые $I_1=0,\left|I_1\right|=I_2$ (лежащие в $\mathrm{\Delta }$ ) отвечают вращениям твердого тела вокруг меньшей и большей осей инерции. Вращениям вокруг средней оси инерции соответствуют точки из $\mathrm{\Delta }$, расположенные на двух прямых $2\mathcal{T}(I_1,I_2)=b{I}_2^2$.

Отметим, что положение прямых линий $2\mathcal{T}=b{I}_2^2$ зависит от двух параметров — отношении моментов инерции тела. Когда $B\to A$, эти прямые стремятся к прямой $I_1=0$; когда $B\to C$, они стремятся к паре прямых $\left|I_1\right|=I_2$.

Лемма 2. Функция $\mathcal{T}(I_1,I_2)$ непрерывна, является однородной степени 2 в $\mathrm{\Delta }$ и аналитична в области
$${\mathrm{\Delta }}_a=\mathrm{\Delta }\mathrm{\setminus }(\{I_1=0\}\cup \{2\mathcal{T}=b{I}_2^2\}\cup \{\left|I_1\right|=I_2\}).$$

Доказательство легко следует из формулы (1.1).
Отметим, что если $A>B>C$, то три прямые линии $I_1=0,2\mathcal{T}=B^{-1}{I}_2^2$ не лежат в области аналитичности функции $\mathcal{T}(I_1,I_2)$. Более точно, при фиксированном $I_2=I_2^{0}eq0$

функция $\mathcal{T}(I_1,I_2^0)$ не аналитична в окрестности точек $I_1=0$, $I_1=J:\mathcal{T}(J,I_2^0)=b\left(I_2^0\right)$. Неаналитичность в окрестности нуля вытекает из того, что
$$\underset{I_1\to +0}{lim}\frac{\partial \mathcal{T}}{\partial I_1}=-\underset{I_1\to -0}{lim}\frac{\partial \mathcal{T}}{\partial I_1}eq0,$$

а в окрестности точки $I_1=J$ это доказывается так же, как для гамильтониана математического маятника ( $\mathrm{\S }4$, гл. 1 ).

Положим ${\omega }_i(I)=\partial \mathcal{T}/\partial I_i(i=1,2)$. Величины ${\omega }_1,{\omega }_2$ являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо.
Рассмотрим в области $\mathrm{\Delta }$ линию уровня функции $\mathcal{T}$ :
$$I_1=I_1(I_2,\mathcal{T}),\mathcal{T}=\text{ const. }$$

Лемма 3. Іри $I_1⩾0,I_2⩾0$ функция $I_1(I_2,\mathcal{T})$ непрерывна и монотонно убывает, причем $\partial I_1/\partial I_2=-{\omega }_2/{\omega }_1$.
Действительно, дифференцируя тождество
$$\mathcal{T}(I_1(I_2,\mathcal{T}),I_2)=\mathcal{T}$$

по $I_2$, получим, что
$$\frac{\partial \mathcal{T}}{\partial I_1}\frac{\partial I_1}{\partial I_2}+\frac{\partial \mathcal{T}}{\partial I_2}\equiv 0$$

Откуда
$$\frac{\partial I_1}{\partial I_2}=-\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}.$$

Из формулы дифференцирования интеграла вида (1.1) по параметру
$$\frac{\partial }{\partial \beta }\oint f(\beta ,x)dx=\oint \frac{\partial }{\partial \beta }f(\beta ,x)dx$$

получим следующее соотношение:
$$\begin{array}{l}\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=-\frac{\partial I_1}{\partial I_2}=\\ =\frac{1}{2\pi }\oint \frac{(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)dl}{\sqrt{(p-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)(c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)}},\end{array}$$

где
$$p=\frac{2\mathcal{T}}{I_2^2}=\mathrm{const}(1/A<p<1/C,peq1/B).$$

Из (1.3) следует, что при $I_1⩾0$ производная $\partial I_1/\partial I_2<0$.
Положим
$$\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\gamma (p;A,B,C).$$

Значения функции $\gamma$ являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих двумерных торах задачи Эйлера — Пуансо ( $[1$, п. $86;20]$ ).

Лемма 4. Если $p\in (1/A,1/B)$, то $\partial \gamma /\partial p>0$; если $p\in (1/B,1/C)$, mo $\partial \gamma /\partial p<0$.

ДоКазательСТво.
Рассмотрим сначала случай, когда $1/B<p<1/C$. Продифференцируем соотношение (1.3) по параметру $p$ :
$$\begin{array}{l}\frac{\partial \gamma }{\partial p}=-\frac{1}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{1}{\sqrt{{(p-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l)}^3}}\times \\ \times \frac{(a{\sin }^{2}l+b{\cos }^{2}l)dl}{\sqrt{c-a{\sin }^{2}l-b{\cos }^{2}l}}<0.\end{array}$$

Пусть теперь $1/A<p<1/B$. В этом случае для интеграла (1.3) формула (1.2) уже несправедлива. Для вычисления $\partial \gamma /\partial p$ в интеграле (1.3) сделаем замену переменной по формуле $x=\mp \cos l$ (знак — [+] выбирается в том случае, когда интегрирование производится по замкнутому контуру на плоскости $(L,l)\in {\mathbf{R}}^2$, охватывающему точку $(0,\pi /2)$ $[(0,-\pi /2)])$. Тогда
$$\begin{array}{l}\gamma =\frac{1}{2\pi }\oint \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)[(c-a)+(b-a)x^2]}}\times \\ \times \frac{[a+(b-a)x^2]dx}{\sqrt{[(p-a)-(b-a)x^2]}}.\end{array}$$

Выполним еще раз замену переменной согласно формуле
$$x=\sqrt{\frac{p-a}{b-a}}\sin y.$$

Тогда
$$\gamma =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{1}{\sqrt{(b-a)-(p-a){\sin }^{2}y}}\frac{[a+(b-a){\sin }^{2}y]dy}{\sqrt{(c-a)-(p-a){\sin }^{2}y}}.$$

Обозначим подынтегральную функцию через $\mathrm{\Phi }(p,y)$. Нетрудно показать, что
$$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p}>0$$

когда $y\in [-\pi /2,\pi /2]\mathrm{\setminus }\{0\},p\in (a,b)$. Следовательно, при $a<p<b$
$$\frac{\partial \gamma }{\partial p}=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial p}dy>0$$

Предложение 1. Если твердое тело несимметрично, то линии уровня функиии $\mathcal{T}(I_1,I_2)$ не имеют перегибов в области ${\mathrm{\Delta }}_a$.

ДоКазательство.
Достаточно, очевидно, показать, что
$$\frac{{\partial }^2{I}_1}{\partial I_2^2}eq0,I_1=I_1(I_2,\mathcal{T}),\mathcal{T}=\text{ const. }$$

Так как
$$\frac{{\partial }^2{I}_1}{\partial I_2^2}=-\frac{\partial }{\partial I_2}\gamma (p;A,B,C)=-\frac{\partial \gamma }{\partial p}\frac{\partial p}{\partial I_2}=\frac{\partial \gamma }{\partial p}\frac{4\mathcal{T}}{I_2^3},$$

то согласно лемме $4{\partial }^2{I}_1/\partial I_2^2>0$ при $p\in (1/A,1/B)$ и ${\partial }^2{I}_1/\partial I_2^2<0$ при $p\in (1/B,1/C)$.

Замечание. Условие отсутствия перегибов у линий уровня функции $\mathcal{T}$ можно представить аналитически в следующем виде:
$$\frac{{\partial }^2\mathcal{T}}{\partial I_1^2}{\omega }_2^2-2\frac{{\partial }^2\mathcal{T}}{\partial I_1\partial I_2}{\omega }_1{\omega }_2+\frac{{\partial }^2\mathcal{T}}{\partial I_2^2}{\omega }_1^{2}eq0$$

На рис. 6 изображены линии уровня функции $\mathcal{T}$ (ясно, что все они подобны). Область $\mathrm{\Delta }$ заштрихована, и выделены две прямые $2\mathcal{T}=B^{-1}{I}_2^2$.