Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой $Г$, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через $p,q,r$ проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ — косинусы углов между прямой $\mathrm{\Gamma }$ и главными осями инерции. Потенциал поля сил $\mathcal{V}$ зависит только от переменных ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$. Предположим, что $\mathcal{V}$ — аналитическая функция в некоторой окрестности нуля ${\gamma }_1={\gamma }_2=$ $={\gamma }_3=0$, содержащей сферу Пуассона
$$S^2=\{({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)\in {\mathbf{R}}^3:{\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2+{\gamma }_3^2=1\}.$$

Уравнения движения тела имеют следующий вид:
$$\begin{array}{l}A\dot{p}+(C-B)qr={\gamma }_3\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_2}-{\gamma }_2\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_3},\\ B\dot{q}+(A-C)pr={\gamma }_1\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_3}-{\gamma }_3\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_1},\\ C\dot{r}+(B-A)pq={\gamma }_2\frac{\partial \mathcal{W}}{\partial {\gamma }_1}-{\gamma }_1\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_2},\\ {\dot{\gamma }}_1=r{\gamma }_2-q{\gamma }_3,{\dot{\gamma }}_2=p{\gamma }_3-r{\gamma }_1,{\dot{\gamma }}_3=q{\gamma }_1-p{\gamma }_2.\end{array}$$

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Они имеют три первых интеграла: интеграл энергии
$$A{p}^2+B{q}^2+C{r}^2-2\mathcal{V}({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)=c_1,$$

интеграл площадей
$$Ap{\gamma }_1+Bq{\gamma }_2+Cr{\gamma }_3=c_2,$$

геометрический интеграл
$${\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2+{\gamma }_3^2=c_3.$$

Для реальных движений твердого тела $c_3=1$.
Разложим функцию $\mathfrak{V}$ в сходящийся ряд
$$\mathcal{V}={\mathcal{V}}_1+{\mathcal{V}}_2+\dots +{\mathcal{V}}_k+\dots ,$$

где ${\mathcal{V}}_k(k=1,2,\dots )$ — однородная форма переменных ${\gamma }_1,{\gamma }_2$, ${\gamma }_3$ степени $k$.

Уравнения Эйлера-Пуассона определены в ${\mathbf{R}}^6=$ $={\mathbf{R}}^3\{p,q,r\}\times {\mathbf{R}}^3\{{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3\}$. Пусть $E-$ некоторая окрестность нуля в ${\mathbf{R}}^6$.

Теорема 3. Если $A>B>C$ и форма ${\mathcal{V}}_1$ невырождена (т.е. ${\mathcal{V}}_{1}ot\equiv 0$ ), то уравнения (4.1) не имеют в облас$тиE\subset {\mathbf{R}}^6$ четвертого аналитического интеграла, не зависящего от классических интегралов энергии, площадей и геометрического.

В случае вращения твердого тела в однородном поле тяготения
$$\mathcal{V}=-P(x{\gamma }_1+y{\gamma }_2+z{\gamma }_3),$$

где $P$ — вес тела, а $(x,y,z)$ — координаты центра тяжести в главных осях инерции.

Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тяжести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки не имеют четвертого аналитического интеграла, независимого от классических.

ЗамЕчаниЕ. Это утверждение существенно усиливает теорему Пуанкаре — Гюссона об отсутствии в этом случае нового алгебраического интеграла [25].

Рассмотрим еще задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил $[26,35]$. С большой точностью потенциал в этом случае можно представить в следующем виде [26]:
$$\mathcal{V}={\lambda }_1(x{\gamma }_1+y{\gamma }_2+z{\gamma }_3)+{\lambda }_2(A{\gamma }_1^2+B{\gamma }_2^2+C{\gamma }_3^2),$$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ — некоторые постоянные. Отметим, что такой же вид имеет потенциал в задаче о вращении тела вокруг неподвижной точки, находящегося под действием силы тяжести

и силы притяжения к некоторой неподвижной плоскости, пропорциональной расстоянию [27, п. 499].

Следствие 3. Если $A>B>Cu{x}^2+y^2+z^{2}eq0$, то уравнения Эйлера — Пуассона (4.1) с потенциалом (4.2) не имеют нового аналитического интеграла, независимого от классических.

ЗАмЕчаниЕ. Это утверждение является существенным усилением теоремы Ю. А. Архангельского об отсутствии в рассматриваемой задаче нового алгебраического интеграла [28].

Точная потенциальная функция ньютоновского поля сил равна
$$\mathcal{V}=\lambda {\iiint }_U\frac{\rho (\xi ,\eta ,\zeta )d\xi d\eta d\zeta }{\sqrt{R^2+2R(\xi {\gamma }_1+\eta {\gamma }_2+\zeta {\gamma }_3)+{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2}}$$

где $(\xi ,\eta ,\zeta )$ — координаты точки твердого тела в главных осях инерции, $\rho (\xi ,\eta ,\zeta )$ — плотность массы в этой точке, $R$ расстояние от гравитирующего центра $O^{\prime }$ до точки подвеса $O$, $U$ — область в подвижной системе координат, занимаемая твердым телом, $\lambda$ — гравитационная постоянная (см. рис. 11).

Если точка $O^{\prime }$ не может находиться внутри твердого тела, то согласно формуле (4.3) $\mathcal{V}$ — аналитическая функция направляющих косинусов ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$. Положим
$${\mathcal{V}}_1=X_{{\gamma }_1}+Y_{{\gamma }_2}+Z_{{\gamma }_3}.$$

Тогда
$$\begin{array}{c}X={\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_1}|}_{{\gamma }_1={\gamma }_2={\gamma }_3=0}=-\lambda R{\iiint }_U\frac{\xi \rho (\xi ,\eta ,\zeta )d\xi d\eta d\zeta }{{(R^2+{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2)}^{3/2}},\\ Y={\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_2}|}_{{\gamma }_1={\gamma }_2={\gamma }_3=0}=-\lambda R{\iiint }_U\frac{\eta \rho (\xi ,\eta ,\zeta )d\xi d\eta d\zeta }{{(R^2+{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2)}^{3/2}},\\ Z={\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial {\gamma }_3}|}_{{\gamma }_1={\gamma }_2={\gamma }_3=0}=-\lambda R{\iiint }_U\frac{\zeta \rho (\xi ,\eta ,\zeta )d\xi d\eta d\zeta }{{(R^2+{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2)}^{3/2}}.\end{array}$$

Следствие 4. Если $A>B>C$ и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокру неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических.

ДоКазательСтво теоремЫ 2.
Предположим, что существует новый интеграл $\mathcal{F}(p,q,r,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$, аналитический в $E\subset {\mathbf{R}}^6$. Введем в уравнения Эйлера-Пуассона малый параметр $\mu$, заменяя ${\gamma }_i$ на $\mu {\gamma }_i$. Тогда $\mathcal{F}(p,q,r,\mu {\gamma }_1,\mu {\gamma }_2,\mu {\gamma }_3)$ можно представить в виде степенного ряда по $\mu$.

Этот ряд будет сходиться для достаточно малых значений $\mu$, если $(p,q,r)\in G(G$ — некоторая малая окрестность нуля в ${\mathbf{R}}^3\{p,q,r\})$, а ${\gamma }_i$ принимают значения из сферы Пуас-

Рис. 11 сона
$$S^2=\{{\gamma }_1^2+{\gamma }_2^2+{\gamma }_3^2=1\}.$$

После введения малого параметра $\mu$ уравнения (4.1) будут иметь тот же вид, а потенциал станет равным
$$\mathcal{V}={\mu }^2{\mathcal{V}}_1+{\mu }^2{\mathcal{V}}_2+\dots .$$

Таким образом, новые уравнения (4.1) будут описывать движения твердого тела в слабом потенциальном поле. Заметим, что форма $\mu {\mathcal{Y}}_1$ имеет смысл потенциальной функции силы тяжести, а ее коэффициенты можно интерпретировать как произведения веса тела на координаты центра тяжести в главных осях инерции.

Переменные ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ выражаются через специальные канонические переменные $L,G,H,l,g,h$ по формулам (4.1) гл. II, а переменные $p,q,r$ — по формулам:
$$p=\frac{1}{A}\sqrt{G^2-L^2}\sin l,q=\frac{1}{B}\sqrt{G^2-L^2}\cos l,r=\frac{L}{C}.$$

Обозначим через $D$ область на кольце $K$, содержащую при каждом значении $G\in ({\alpha }_1,{\alpha }_2),0<{\alpha }_1<{\alpha }_2(({\alpha }_1,{\alpha }_2)-$ малый интервал $R$ ) обе сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 (см. §3).

Согласно формулам (4.1) (гл. II) и (4.5) переменные Эйлера-Пуассона являются аналитическими функциями специальных канонических переменных, если
$$G\in ({\alpha }_1,{\alpha }_2),|H|<{\alpha }_1,(L,l)\in D,g\in {\mathbf{T}}^1\{xmod2\pi \}.$$

Подставляя выражения (4.1) (гл. II) и (4.5) в функцию $\mathcal{F}$, получим при фиксированном значении переменной $H=H^0$ $(\left|H^0\right|<{\alpha }_1$ ) интеграл канонических уравнений с функцией Гамильтона (3.5), аналитический в области
$$D\times ({\alpha }_1,{\alpha }_2)\times {\mathbf{T}}^1\{gmod2\pi \}\times (-\epsilon ,\epsilon ).$$

Так как $\mathcal{H}$ и $\mathcal{F}$ как функции от переменных $L,l,G,g$ и параметров $H,\mu$ независимы, то при некотором фиксированном значении $H=H^0$ из интервала ( $-{\alpha }_1,{\alpha }_1$ ) новый интеграл уравнений с гамильтонианом (3.5) не зависит от интеграла энергии. Но это противоречит заключению теоремы 1 (с учетом замечания 3 предыдущего параграфа).