Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой $Г$, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через $p, q, r$ проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ – косинусы углов между прямой $\Gamma$ и главными осями инерции. Потенциал поля сил $\mathscr{V}$ зависит только от переменных $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Предположим, что $\mathscr{V}$ – аналитическая функция в некоторой окрестности нуля $\gamma_{1}=\gamma_{2}=$ $=\gamma_{3}=0$, содержащей сферу Пуассона
\[
S^{2}=\left\{\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3}: \gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1\right\} .
\]

Уравнения движения тела имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
A \dot{p}+(C-B) q r=\gamma_{3} \frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{2}}-\gamma_{2} \frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{3}}, \\
B \dot{q}+(A-C) p r=\gamma_{1} \frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{3}}-\gamma_{3} \frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{1}}, \\
C \dot{r}+(B-A) p q=\gamma_{2} \frac{\partial \mathscr{W}}{\partial \gamma_{1}}-\gamma_{1} \frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{2}}, \\
\dot{\gamma}_{1}=r \gamma_{2}-q \gamma_{3}, \quad \dot{\gamma}_{2}=p \gamma_{3}-r \gamma_{1}, \quad \dot{\gamma}_{3}=q \gamma_{1}-p \gamma_{2} .
\end{array}
\]

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Они имеют три первых интеграла: интеграл энергии
\[
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}-2 \mathscr{V}\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)=c_{1},
\]

интеграл площадей
\[
A p \gamma_{1}+B q \gamma_{2}+C r \gamma_{3}=c_{2},
\]

геометрический интеграл
\[
\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=c_{3} .
\]

Для реальных движений твердого тела $c_{3}=1$.
Разложим функцию $\mathfrak{V}$ в сходящийся ряд
\[
\mathscr{V}=\mathscr{V}_{1}+\mathscr{V}_{2}+\ldots+\mathscr{V}_{k}+\ldots,
\]

где $\mathscr{V}_{k}(k=1,2, \ldots)$ – однородная форма переменных $\gamma_{1}, \gamma_{2}$, $\gamma_{3}$ степени $k$.

Уравнения Эйлера-Пуассона определены в $\mathbf{R}^{6}=$ $=\mathbf{R}^{3}\{p, q, r\} \times \mathbf{R}^{3}\left\{\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right\}$. Пусть $E-$ некоторая окрестность нуля в $\mathbf{R}^{6}$.

Теорема 3. Если $A>B>C$ и форма $\mathscr{V}_{1}$ невырождена (т.е. $\mathscr{V}_{1}
ot \equiv 0$ ), то уравнения (4.1) не имеют в облас$т и ~ E \subset \mathbf{R}^{6}$ четвертого аналитического интеграла, не зависящего от классических интегралов энергии, площадей и геометрического.

В случае вращения твердого тела в однородном поле тяготения
\[
\mathscr{V}=-P\left(x \gamma_{1}+y \gamma_{2}+z \gamma_{3}\right),
\]

где $P$ – вес тела, а $(x, y, z)$ – координаты центра тяжести в главных осях инерции.

Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тяжести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки не имеют четвертого аналитического интеграла, независимого от классических.

ЗамЕчаниЕ. Это утверждение существенно усиливает теорему Пуанкаре – Гюссона об отсутствии в этом случае нового алгебраического интеграла [25].

Рассмотрим еще задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил $[26,35]$. С большой точностью потенциал в этом случае можно представить в следующем виде [26]:
\[
\mathscr{V}=\lambda_{1}\left(x \gamma_{1}+y \gamma_{2}+z \gamma_{3}\right)+\lambda_{2}\left(A \gamma_{1}^{2}+B \gamma_{2}^{2}+C \gamma_{3}^{2}\right),
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ – некоторые постоянные. Отметим, что такой же вид имеет потенциал в задаче о вращении тела вокруг неподвижной точки, находящегося под действием силы тяжести

и силы притяжения к некоторой неподвижной плоскости, пропорциональной расстоянию [27, п. 499].

Следствие 3. Если $A>B>C u x^{2}+y^{2}+z^{2}
eq 0$, то уравнения Эйлера – Пуассона (4.1) с потенциалом (4.2) не имеют нового аналитического интеграла, независимого от классических.

ЗАмЕчаниЕ. Это утверждение является существенным усилением теоремы Ю. А. Архангельского об отсутствии в рассматриваемой задаче нового алгебраического интеграла [28].

Точная потенциальная функция ньютоновского поля сил равна
\[
\mathscr{V}=\lambda \iiint_{U} \frac{\rho(\xi, \eta, \zeta) d \xi d \eta d \zeta}{\sqrt{R^{2}+2 R\left(\xi \gamma_{1}+\eta \gamma_{2}+\zeta \gamma_{3}\right)+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}}}
\]

где $(\xi, \eta, \zeta)$ – координаты точки твердого тела в главных осях инерции, $\rho(\xi, \eta, \zeta)$ – плотность массы в этой точке, $R$ расстояние от гравитирующего центра $O^{\prime}$ до точки подвеса $O$, $U$ – область в подвижной системе координат, занимаемая твердым телом, $\lambda$ – гравитационная постоянная (см. рис. 11).

Если точка $O^{\prime}$ не может находиться внутри твердого тела, то согласно формуле (4.3) $\mathscr{V}$ – аналитическая функция направляющих косинусов $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Положим
\[
\mathscr{V}_{1}=X_{\gamma_{1}}+Y_{\gamma_{2}}+Z_{\gamma_{3}} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
X=\left.\frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{1}}\right|_{\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}=0}=-\lambda R \iiint_{U} \frac{\xi \rho(\xi, \eta, \zeta) d \xi d \eta d \zeta}{\left(R^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right)^{3 / 2}}, \\
Y=\left.\frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{2}}\right|_{\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}=0}=-\lambda R \iiint_{U} \frac{\eta \rho(\xi, \eta, \zeta) d \xi d \eta d \zeta}{\left(R^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right)^{3 / 2}}, \\
Z=\left.\frac{\partial \mathscr{V}}{\partial \gamma_{3}}\right|_{\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}=0}=-\lambda R \iiint_{U} \frac{\zeta \rho(\xi, \eta, \zeta) d \xi d \eta d \zeta}{\left(R^{2}+\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}\right)^{3 / 2}} .
\end{array}
\]

Следствие 4. Если $A>B>C$ и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокру неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических.

ДоКазательСтво теоремЫ 2.
Предположим, что существует новый интеграл $\mathscr{F}\left(p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$, аналитический в $E \subset \mathbf{R}^{6}$. Введем в уравнения Эйлера-Пуассона малый параметр $\mu$, заменяя $\gamma_{i}$ на $\mu \gamma_{i}$. Тогда $\mathscr{F}\left(p, q, r, \mu \gamma_{1}, \mu \gamma_{2}, \mu \gamma_{3}\right)$ можно представить в виде степенного ряда по $\mu$.

Этот ряд будет сходиться для достаточно малых значений $\mu$, если $(p, q, r) \in G(G$ – некоторая малая окрестность нуля в $\left.\mathbf{R}^{3}\{p, q, r\}\right)$, а $\gamma_{i}$ принимают значения из сферы Пуас-

Рис. 11 сона
\[
S^{2}=\left\{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1\right\} .
\]

После введения малого параметра $\mu$ уравнения (4.1) будут иметь тот же вид, а потенциал станет равным
\[
\mathscr{V}=\mu^{2} \mathscr{V}_{1}+\mu^{2} \mathscr{V}_{2}+\ldots .
\]

Таким образом, новые уравнения (4.1) будут описывать движения твердого тела в слабом потенциальном поле. Заметим, что форма $\mu \mathscr{Y}_{1}$ имеет смысл потенциальной функции силы тяжести, а ее коэффициенты можно интерпретировать как произведения веса тела на координаты центра тяжести в главных осях инерции.

Переменные $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ выражаются через специальные канонические переменные $L, G, H, l, g, h$ по формулам (4.1) гл. II, а переменные $p, q, r$ – по формулам:
\[
p=\frac{1}{A} \sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad q=\frac{1}{B} \sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, \quad r=\frac{L}{C} .
\]

Обозначим через $D$ область на кольце $K$, содержащую при каждом значении $G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), 0<\alpha_{1}<\alpha_{2}\left(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)-\right.$ малый интервал $R$ ) обе сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 (см. §3).

Согласно формулам (4.1) (гл. II) и (4.5) переменные Эйлера-Пуассона являются аналитическими функциями специальных канонических переменных, если
\[
G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), \quad|H|<\alpha_{1}, \quad(L, l) \in D, \quad g \in \mathbf{T}^{1}\{x \bmod 2 \pi\} .
\]

Подставляя выражения (4.1) (гл. II) и (4.5) в функцию $\mathscr{F}$, получим при фиксированном значении переменной $H=H^{0}$ $\left(\left|H^{0}\right|<\alpha_{1}\right.$ ) интеграл канонических уравнений с функцией Гамильтона (3.5), аналитический в области
\[
D \times\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \times \mathbf{T}^{1}\{g \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon) .
\]

Так как $\mathscr{H}$ и $\mathscr{F}$ как функции от переменных $L, l, G, g$ и параметров $H, \mu$ независимы, то при некотором фиксированном значении $H=H^{0}$ из интервала ( $-\alpha_{1}, \alpha_{1}$ ) новый интеграл уравнений с гамильтонианом (3.5) не зависит от интеграла энергии. Но это противоречит заключению теоремы 1 (с учетом замечания 3 предыдущего параграфа).