Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в потенциальном поле сил, инвариантном относительно поворотов вокруг некоторой прямой $Г$, проходящей через точку подвеса. Обозначим, как обычно, через $p, q, r$ проекции вектора угловой скорости на главные оси эллипсоида инерции тела, а через $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ — косинусы углов между прямой $\Gamma$ и главными осями инерции. Потенциал поля сил $\mathscr{V}$ зависит только от переменных $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Предположим, что $\mathscr{V}$ — аналитическая функция в некоторой окрестности нуля $\gamma_{1}=\gamma_{2}=$ $=\gamma_{3}=0$, содержащей сферу Пуассона Уравнения движения тела имеют следующий вид: Эти уравнения называются уравнениями Эйлера-Пуассона. Они имеют три первых интеграла: интеграл энергии интеграл площадей геометрический интеграл Для реальных движений твердого тела $c_{3}=1$. где $\mathscr{V}_{k}(k=1,2, \ldots)$ — однородная форма переменных $\gamma_{1}, \gamma_{2}$, $\gamma_{3}$ степени $k$. Уравнения Эйлера-Пуассона определены в $\mathbf{R}^{6}=$ $=\mathbf{R}^{3}\{p, q, r\} \times \mathbf{R}^{3}\left\{\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right\}$. Пусть $E-$ некоторая окрестность нуля в $\mathbf{R}^{6}$. Теорема 3. Если $A>B>C$ и форма $\mathscr{V}_{1}$ невырождена (т.е. $\mathscr{V}_{1} В случае вращения твердого тела в однородном поле тяготения где $P$ — вес тела, а $(x, y, z)$ — координаты центра тяжести в главных осях инерции. Следствие 2. Если тело несимметрично и центр тяжести не лежит в точке подвеса, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки не имеют четвертого аналитического интеграла, независимого от классических. ЗамЕчаниЕ. Это утверждение существенно усиливает теорему Пуанкаре — Гюссона об отсутствии в этом случае нового алгебраического интеграла [25]. Рассмотрим еще задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил $[26,35]$. С большой точностью потенциал в этом случае можно представить в следующем виде [26]: где $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ — некоторые постоянные. Отметим, что такой же вид имеет потенциал в задаче о вращении тела вокруг неподвижной точки, находящегося под действием силы тяжести и силы притяжения к некоторой неподвижной плоскости, пропорциональной расстоянию [27, п. 499]. Следствие 3. Если $A>B>C u x^{2}+y^{2}+z^{2} ЗАмЕчаниЕ. Это утверждение является существенным усилением теоремы Ю. А. Архангельского об отсутствии в рассматриваемой задаче нового алгебраического интеграла [28]. Точная потенциальная функция ньютоновского поля сил равна где $(\xi, \eta, \zeta)$ — координаты точки твердого тела в главных осях инерции, $\rho(\xi, \eta, \zeta)$ — плотность массы в этой точке, $R$ расстояние от гравитирующего центра $O^{\prime}$ до точки подвеса $O$, $U$ — область в подвижной системе координат, занимаемая твердым телом, $\lambda$ — гравитационная постоянная (см. рис. 11). Если точка $O^{\prime}$ не может находиться внутри твердого тела, то согласно формуле (4.3) $\mathscr{V}$ — аналитическая функция направляющих косинусов $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Положим Тогда Следствие 4. Если $A>B>C$ и хотя бы один из интегралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокру неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного аналитического интеграла, независимого от классических. ДоКазательСтво теоремЫ 2. Этот ряд будет сходиться для достаточно малых значений $\mu$, если $(p, q, r) \in G(G$ — некоторая малая окрестность нуля в $\left.\mathbf{R}^{3}\{p, q, r\}\right)$, а $\gamma_{i}$ принимают значения из сферы Пуас- Рис. 11 сона После введения малого параметра $\mu$ уравнения (4.1) будут иметь тот же вид, а потенциал станет равным Таким образом, новые уравнения (4.1) будут описывать движения твердого тела в слабом потенциальном поле. Заметим, что форма $\mu \mathscr{Y}_{1}$ имеет смысл потенциальной функции силы тяжести, а ее коэффициенты можно интерпретировать как произведения веса тела на координаты центра тяжести в главных осях инерции. Переменные $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ выражаются через специальные канонические переменные $L, G, H, l, g, h$ по формулам (4.1) гл. II, а переменные $p, q, r$ — по формулам: Обозначим через $D$ область на кольце $K$, содержащую при каждом значении $G \in\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), 0<\alpha_{1}<\alpha_{2}\left(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)-\right.$ малый интервал $R$ ) обе сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 (см. §3). Согласно формулам (4.1) (гл. II) и (4.5) переменные Эйлера-Пуассона являются аналитическими функциями специальных канонических переменных, если Подставляя выражения (4.1) (гл. II) и (4.5) в функцию $\mathscr{F}$, получим при фиксированном значении переменной $H=H^{0}$ $\left(\left|H^{0}\right|<\alpha_{1}\right.$ ) интеграл канонических уравнений с функцией Гамильтона (3.5), аналитический в области Так как $\mathscr{H}$ и $\mathscr{F}$ как функции от переменных $L, l, G, g$ и параметров $H, \mu$ независимы, то при некотором фиксированном значении $H=H^{0}$ из интервала ( $-\alpha_{1}, \alpha_{1}$ ) новый интеграл уравнений с гамильтонианом (3.5) не зависит от интеграла энергии. Но это противоречит заключению теоремы 1 (с учетом замечания 3 предыдущего параграфа).
|
1 |
Оглавление
|