С помощью формул сферической тригонометрии можно показать [26], что в специальных канонических переменных $L,G,H,l,g,h$ возмущающая функция $\mathcal{U}$ имеет вид
$$\mathcal{U}=\frac{x}{r}{\gamma }_1+\frac{y}{r}{\gamma }_2+\frac{z}{r}{\gamma }_3,$$

$$\begin{array}{c}{\gamma }_1=\frac{H}{G}\sqrt{1-{\left(\frac{L}{G}\right)}^2}\sin l-\frac{L}{G}\sqrt{1-{\left(\frac{H}{G}\right)}^2}\sin l\cos g+\\ +\sqrt{1-{\left(\frac{H}{G}\right)}^2}\cos l\sin g,\\ {\gamma }_2=\frac{H}{G}\sqrt{1-{\left(\frac{L}{G}\right)}^2}\cos l+\frac{L}{G}\sqrt{1-{\left(\frac{H}{G}\right)}^2}\cos l\cos g-\\ -\sqrt{1-{\left(\frac{H}{G}\right)}^2}\sin l\sin g,\\ {\gamma }_3=\frac{LH}{G^2}\sqrt{1-{\left(\frac{L}{G}\right)}^2}\sqrt{1-{\left(\frac{H}{G}\right)}^2}\cos g,\end{array}$$

где $(x,y,z)$ — координаты центра тяжести в главных осях инерции, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ — расстояние от центра тяжести до точки подвеса.

В переменных действие-угол $I_1{I}_2{I}_3{\phi }_1{\phi }_2{\phi }_3$ функция $\mathcal{U}\left(I_1{I}_2{I}_3{\phi }_1{\phi }_2{\phi }_3\right)$ не зависит от ${\phi }_3$ и $2\pi$-периодична по ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$. Согласно результатам работ $[22,18]$, разложение этой функции в двойной ряд Фурье по переменным ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ можно представить следующим образом:
$$\mathcal{U}=(\sin \delta \sin {\phi }_2,\sin \delta \cos {\phi }_2,\cos \delta )S\left(\begin{array}{l}x/r\\ y/r\\ z/r\end{array}\right),\cos \delta =\frac{I_3}{I_2}.$$

Здесь элементы квадратной матрицы $S=\Vert s_{ij}\Vert$ третьего порядка не зависят от ${\phi }_2$. Выпишем разложения $s_{ij}$ в ряды Фурье по угловой переменной ${\phi }_1$ :
$$\begin{array}{l}{s}_{11}=-\frac{2\pi }{\mathbf{K}}\frac{1}{\sqrt{{\varkappa }^2+{\mathrm{\Lambda }}^2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}(1-q^{2n+1})\mathrm{ch}\delta }{1-2q^{2n+1}\mathrm{ch}2\sigma +q^{4n+2}}\sin (2n+1){\phi }_1,\\ s_{12}=-\frac{2\pi }{\mathbf{K}}\sqrt{\frac{1+{\varkappa }^2}{{\mathrm{\Lambda }}^2+{\varkappa }^2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}(1+q^{2n+1})\mathrm{ch}\delta }{1+2q^{2n+1}\mathrm{ch}2\sigma +q^{4n+2}}\cos (2n+1){\phi }_1,\\ s_{13}=-\frac{2\pi }{\mathbf{K}}\frac{\varkappa }{\sqrt{{\varkappa }^2+{\mathrm{\Lambda }}^2}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n(1-q^{2n})\mathrm{ch}\sigma }{1-2q^{2n}\mathrm{ch}2\sigma +q^{4n}}\sin 2n{\phi }_1,\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{s}_{23}=\frac{2\pi }{K}\frac{\varkappa }{\sqrt{{\varkappa }^2+{\mathrm{\Lambda }}^2}}\{-\frac{1}{4\mathrm{sh}\delta }+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n(1+q^{2n})\mathrm{sh}\sigma }{1-2q^{2n}\mathrm{ch}2\sigma +q^{4n}}\cos 2n{\phi }_1\}\text{, }\\ s_{31}=\frac{2\pi }{\mathbf{K}}\frac{1}{\sqrt{{\varkappa }^2+{\mathrm{\Lambda }}^2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1+2q^{2n+1}}\cos (2n+1){\phi }_1,\\ s_{32}=-\frac{2\pi }{\mathbf{K}}\sqrt{\frac{1+{\varkappa }^2}{{\mathrm{\Lambda }}^2+{\varkappa }^2}}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}\sin (2n+1){\phi }_1,\\ s_{33}=\frac{2\pi }{K}\frac{\varkappa }{\sqrt{{\varkappa }^2+{\mathrm{\Lambda }}^2}}(\frac{1}{4}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos 2n{\phi }_1);\\ {\varkappa }^2=\frac{C(A-B)}{A(B-C)},{\mathrm{\Lambda }}^2={\varkappa }^2\frac{2C\mathcal{T}-I_2^2}{I_2^2-2A\mathcal{T}},q=\exp (-\frac{\pi {\mathbf{K}}^{\prime }}{\mathbf{K}}),\\ {\mathbf{K}}^{\prime }=\mathbf{K}\left(\sqrt{1-{\mathrm{\Lambda }}^2}\right),\sigma =\frac{\pi }{2\mathbf{K}}F(\mathrm{arctg}\frac{\varkappa }{\mathrm{\Lambda }},\sqrt{1-{\mathrm{\Lambda }}^2}).\end{array}$$

Здесь $\mathbf{K}(\mathrm{\Lambda })$ — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $\mathrm{\Lambda },F$ — эллиптический интеграл первого рода.