С помощью формул сферической тригонометрии можно показать [26], что в специальных канонических переменных $L, G, H, l, g, h$ возмущающая функция $\mathscr{U}$ имеет вид
\[
\mathscr{U}=\frac{x}{r} \gamma_{1}+\frac{y}{r} \gamma_{2}+\frac{z}{r} \gamma_{3},
\]

\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sin l-\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin l \cos g+ \\
+\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos l \sin g, \\
\gamma_{2}=\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \cos l+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos l \cos g- \\
-\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin l \sin g, \\
\gamma_{3}=\frac{L H}{G^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g,
\end{array}
\]

где $(x, y, z)$ – координаты центра тяжести в главных осях инерции, $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ – расстояние от центра тяжести до точки подвеса.

В переменных действие-угол $I_{1} I_{2} I_{3} \varphi_{1} \varphi_{2} \varphi_{3}$ функция $\mathscr{U}\left(I_{1} I_{2} I_{3} \varphi_{1} \varphi_{2} \varphi_{3}\right)$ не зависит от $\varphi_{3}$ и $2 \pi$-периодична по $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Согласно результатам работ $[22,18]$, разложение этой функции в двойной ряд Фурье по переменным $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ можно представить следующим образом:
\[
\mathscr{U}=\left(\sin \delta \sin \varphi_{2}, \sin \delta \cos \varphi_{2}, \cos \delta\right) S\left(\begin{array}{l}
x / r \\
y / r \\
z / r
\end{array}\right), \quad \cos \delta=\frac{I_{3}}{I_{2}} .
\]

Здесь элементы квадратной матрицы $S=\left\|s_{i j}\right\|$ третьего порядка не зависят от $\varphi_{2}$. Выпишем разложения $s_{i j}$ в ряды Фурье по угловой переменной $\varphi_{1}$ :
\[
\begin{array}{l}
s_{11}=-\frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \frac{1}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q^{n+1 / 2}\left(1-q^{2 n+1}\right) \operatorname{ch} \delta}{1-2 q^{2 n+1} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n+2}} \sin (2 n+1) \varphi_{1}, \\
s_{12}=-\frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \sqrt{\frac{1+\varkappa^{2}}{\Lambda^{2}+\varkappa^{2}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q^{n+1 / 2}\left(1+q^{2 n+1}\right) \operatorname{ch} \delta}{1+2 q^{2 n+1} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n+2}} \cos (2 n+1) \varphi_{1}, \\
s_{13}=-\frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}\left(1-q^{2 n}\right) \operatorname{ch} \sigma}{1-2 q^{2 n} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n}} \sin 2 n \varphi_{1}, \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
s_{23}=\frac{2 \pi}{K} \frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}}\left\{-\frac{1}{4 \operatorname{sh} \delta}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}\left(1+q^{2 n}\right) \operatorname{sh} \sigma}{1-2 q^{2 n} \operatorname{ch} 2 \sigma+q^{4 n}} \cos 2 n \varphi_{1}\right\} \text {, } \\
s_{31}=\frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \frac{1}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q^{n+1 / 2}}{1+2 q^{2 n+1}} \cos (2 n+1) \varphi_{1}, \\
s_{32}=-\frac{2 \pi}{\mathbf{K}} \sqrt{\frac{1+\varkappa^{2}}{\Lambda^{2}+\varkappa^{2}}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q^{n+1 / 2}}{1-q^{2 n+1}} \sin (2 n+1) \varphi_{1}, \\
s_{33}=\frac{2 \pi}{K} \frac{\varkappa}{\sqrt{\varkappa^{2}+\Lambda^{2}}}\left(\frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{1+q^{2 n}} \cos 2 n \varphi_{1}\right) ; \\
\varkappa^{2}=\frac{C(A-B)}{A(B-C)}, \quad \Lambda^{2}=\varkappa^{2} \frac{2 C \mathscr{T}-I_{2}^{2}}{I_{2}^{2}-2 A \mathscr{T}}, \quad q=\exp \left(-\frac{\pi \mathbf{K}^{\prime}}{\mathbf{K}}\right), \\
\mathbf{K}^{\prime}=\mathbf{K}\left(\sqrt{1-\Lambda^{2}}\right), \quad \sigma=\frac{\pi}{2 \mathbf{K}} F\left(\operatorname{arctg} \frac{\varkappa}{\Lambda}, \sqrt{1-\Lambda^{2}}\right) . \\
\end{array}
\]

Здесь $\mathbf{K}(\Lambda)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $\Lambda, F$ – эллиптический интеграл первого рода.