Пусть $\mathbf{T}^{n}-n$-мерный тор с угловыми координатами $\varphi=$ $=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right) \bmod 1$. Рассмотрим квазипериодическое движение на $\mathbf{T}^{n}$ :
\[
\varphi=\omega t+\varphi^{0}, \quad \varphi^{0}=\varphi(0),
\]

где $\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)=$ const. Предположим, что частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ независимы над полем рациональных чисел. Пусть $f(\varphi)$ – непрерывная функция на $\mathbf{T}^{n}$. Рассмотрим интеграл от $f$ вдоль траектории этого квазипериодического движения:
\[
I\left(t, \varphi_{0}\right)=\int_{0}^{t} f\left(\omega t+\varphi^{0}\right) d t .
\]

По теореме об усреднении [4], $I\left(t, \varphi^{0}\right)=\lambda t+\Phi\left(t, \varphi^{0}\right)$,
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\bar{f}=\int_{0}^{1} \ldots \int_{0}^{1} f\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right) d \varphi_{1} \ldots d \varphi_{n}, \\
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\Phi\left(t, \varphi^{0}\right)}{t}=0 \quad \forall \varphi^{0} \in \mathbf{T}^{n} .
\end{array}
\]

В гл. VIII рассматривается поведение $\Phi\left(t, \varphi^{0}\right)$ как функции времени в зависимости от начальных фаз $\varphi^{0}=\left(\varphi_{1}^{0}, \ldots, \varphi_{n}^{0}\right)$. Задача исследования интеграла $I\left(t, \varphi^{0}\right)$ часто встречается при качественном анализе динамических систем. Как было показано в гл. VII, исследование движения линии узлов в случае Горячева- Чаплыгина сводится к частному случаю этой задачи, когда $n=2$.