Напомним, что функция Гамильтона этой задачи имеет вид
$$\begin{array}{c}\mathcal{H}={\mathcal{H}}_0+\mu {\mathcal{H}}_1,\\ {\mathcal{H}}_0=\frac{p^2}{2}+{\omega }_0^2\cos q,{\mathcal{H}}_1={\omega }_0^2\cos q\cos t\end{array}$$
(подробности см. в § 4 гл. 1; мы положили здесь для простоты $u=1$ ). В переменных действие-угол $I,\phi$ невозмущенной задачи
$${\mathcal{H}}_0={\mathcal{H}}_0(I),\cos q=f(I,\phi ),$$

где ${\mathcal{H}}_0$ определяется из неявного соотношения
$$I=\frac{1}{2\pi }\oint \sqrt{2({\mathcal{H}}_0+{\omega }_0^2\cos x)}dx,$$
a
$$f(I,\phi )={\mathrm{cn}}^2\frac{\mathbf{K}}{\pi }\phi -{\mathrm{sn}}^2\frac{\mathbf{K}}{\pi }\phi .$$

На интервале ( $I^{\prime },I^{\prime \prime })$, не содержащем точку
$$I_c=\frac{{\omega }_0}{2\pi }\oint \sqrt{2(1-\cos x)}dx,$$

функция ${\mathcal{H}}_0$ аналитична. При всех $I\in (I^{\prime },I^{\prime \prime })$ функция $f$ аналитична на ${\mathbf{T}}^1\{\phi mod2\pi \}$ и является однозначной мероморфной функцией в комплексной плоскости С. Таким образом,

в этой задаче естественно поставить вопрос о существовании однозначных аналитических интегралов.

Будем говорить, что система канонических уравнений с гамильтонианом (5.1) имеет однозначный интеграл $\mathcal{F}(I,\phi ,t,\mu )$, если эта функция
1) есть первый интеграл,
2) является действительной аналитической функцией в области
$$(I^{\prime },I^{\prime \prime })\times {\mathbf{T}}^2\{\phi ,tmod2\pi \}\times (-\epsilon ,\epsilon ),$$
3) при фиксированных значениях $I,\mu$ однозначна по переменным $\phi ,t$ в прямом произведении $\mathbf{C}\times \mathbf{C}$.

Пусть $I=I^0\in \tilde{\mathcal{B}}(\mathcal{B}-$ вековое множество), ${\phi }^0=0$. Рассмотрим на комплексной плоскости времени $t\in C$ замкнутый контур $\mathrm{\Gamma }$ — границу прямоугольника $ABCD$ (рис. 14). Здесь $T$ период функции $f(I^0,\omega \left(I^0\right)t)\cos t$, a $i\alpha \left(I^0\right)$ — чисто мнимый период Рис. 14 мероморфной функции $f(I^0,\omega z)$. Число $\tau$ выберем так, чтобы $f(I^0,\omega z)$ не имела полюсов на $Г$.

Обозначим через $\gamma$ замкнутую непрерывную кривую в $\mathbf{C}\times \mathbf{C}$, являющуюся образом следующего отображения
$$\phi =\omega \left(I^0\right)z,t=z,z\in \mathrm{\Gamma }.$$

Пусть $I_1,I_2$ — малый интервал $\mathbf{R}$, содержащий точку $I^0$, а $\mathrm{\Omega }$ — связная окрестность контура $\gamma$ в $\mathbf{C}\times \mathbf{C},\mathrm{\Pi }(s)\subset \mathrm{\Omega }\subset$ $\subset \mathrm{\Pi }(S),0<s<S$, такая, что при всех $I\in (I_1,I_2)$ мероморфная функция $f(I,\phi )$ не имеет полюсов в области $\mathrm{\Omega }$. Здесь мы положили
$$\mathrm{\Pi }(\rho )=\{(\phi ,t)\in \mathbf{C}\times \mathbf{C}:|\mathrm{Im}\phi |<\rho ,|\mathrm{Im}t|<\rho \}.$$

Теорема 3. Канонические уравнения с функцией Гамильтона (5.1) не имеют однозначного интеграла $\mathcal{F}(I,\phi ,t,\mu )$, аналитического в прямом произведении $(I_1,I_2)\times \mathrm{\Omega }\times (-\epsilon ,\epsilon )$.

ДоКАЗатЕЛЬСТВо.
Прежде всего заметим, что функция $\mathcal{F}(I,\phi ,t,\mu )$ аналитична в области $\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\Omega }\times (-\epsilon ,\epsilon )$, где
$$\mathrm{\Delta }=\{I\in \mathbf{C}:\mathrm{Re}I\in (I_1^{\prime },I_2^{\prime }),|\mathrm{Im}I|<u\},$$

интервал $(I_1^{\prime },I_2^{\prime }$ ) содержит $I^0$ и лежит внутри $(I_1,I_2)$, а $u-$ малое положительное число.
Разложим функцию $\mathcal{F}$ в ряд по степеням $\mu$ :
$$\mathcal{F}={\mathcal{F}}_0(I,\phi ,t)+\mu {\mathcal{F}}_1(I,\phi ,t)+\dots$$

Если $(I,\phi ,t)\in \mathrm{\Delta }\times \mathrm{\Omega }$, то этот ряд сходится при малых значениях параметра $\mu$. Покажем, что ${\mathcal{F}}_0$ не зависит от переменных $\phi$ и $t$. Действительно, если $(I,\phi ,t)\in (I_1,I_2)\times {\mathbf{T}}^2$, то из невырожденности невозмущенной системы вытекает, что ${\mathcal{F}}_0$ не содержит $\phi ,t$ ( $\mathrm{\S }3,4$ гл. I). Если же $(\phi ,t)\in \mathrm{\Omega }$, то это утверждение следует из связности области $\mathrm{\Omega }$.
Докажем теперь, что $\partial {\mathcal{F}}_0/\partial I\equiv 0$ в интервале $(I_1,I_2)$.
Согласно теореме Пуанкаре $[1,3]$ решения возмущенной задачи можно разложить в сходящиеся ряды по степеням параметра $\mu$ вдоль контура $\mathrm{\Gamma }$ :
$$I=I^0+\mu I^1(t)+\dots ,\phi =\omega \left(I^0\right)t+\mu {\phi }^1(t)+\dots$$

Покажем, что после обхода контура $\mathrm{\Gamma }$ функция $I^1(t)$ получит приращение $\xi eq0$. Воспользуемся уравнением
$$\dot{\mathcal{H}}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=\mu \frac{\partial {\mathcal{H}}_1}{\partial t}.$$

Положим
$$\begin{array}{c}{\frac{\partial {\mathcal{H}}_1}{\partial t}|}_{\begin{array}{c}I=I^0\\ \phi =\omega t\end{array}}=\mathrm{\Phi }(t)=-f(I^0,\omega t)\sin t=\\ =\frac{i}{2}[e^{it}f(I^0,\omega t)-e^{-it}f(I^0,\omega t)].\end{array}$$

Рассмотрим значение функции $\mathcal{H}$ на решениях (5.3). Приращение $h$ этой функции после обхода контура $\mathrm{\Gamma }$ можно разложить в сходящийся степенной ряд:
$$h=h_0+\mu h_1+\dots .$$

Очевидно, что $h_0=0$ и
$$\eta =h_1={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{\Phi }(I^0,t)dt.$$

Функция $\mathrm{\Phi }(I^0,t)$ периодична по $t$ с действительным периодом $T$, следовательно,
$${\int }_B^C\mathrm{\Phi }(I^0,t)dt+{\int }_D^A\mathrm{\Phi }(I^0,t)dt=0.$$

Положим
$$\begin{array}{ll}{\sigma }_1=\frac{i}{2}{\int }_A^B{e}^{it}f(I^0,\omega t)dt,& {\sigma }_2=-\frac{i}{2}{\int }_A^B{e}^{-it}f(I^0,\omega t)dt,\\ {\mathrm{\Sigma }}_1=\frac{i}{2}{\int }_C^D{e}^{it}f(I^0,\omega t)dt,& {\mathrm{\Sigma }}_2=-\frac{i}{2}{\int }_C^D{e}^{-it}f(I^0,\omega t)dt.\end{array}$$

Покажем, что
$${\mathrm{\Sigma }}_1=-e^{-\alpha }{\sigma }_1,{\mathrm{\Sigma }}_2=-e^{-\alpha }{\sigma }_2.$$

Действительно, заменяя переменные по формуле $t=z+ia$, получим
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Sigma }}_1& =\frac{i}{2}{\int }_{\tau +T}^{\tau }{e}^{i(z+i\alpha )}f(I^0,\omega (z+i\alpha ))dz=\\ & =-\frac{i}{2}{e}^{-\alpha }{\int }_{\tau }^{\tau +T}{e}^{iz}f(I^0,\omega z)dz=-e^{-\alpha }{\sigma }_1.\end{array}$$

Аналогично доказывается вторая формула.
Интеграл (5.4) с учетом формул (5.5) запишется в виде
$$\eta =(1-e^{-\alpha }){\sigma }_1+(1-e^{\alpha }){\sigma }_2.$$

Разложим возмущающую функцию ${\mathcal{H}}_1$ в двойной ряд Фурье (см. $\mathrm{\S }4$ гл. I)
$${\mathcal{H}}_1=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_{m,1}(I)e^{i(m\phi +t)}+\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_{m,-1}(I)e^{i(m\phi -t)}.$$

С другой стороны,
$${\mathcal{H}}_1=\frac{1}{2}[e^{it}f(I,\phi )+e^{-it}f(I,\phi )].$$

Так как $I^0\in \tilde{\mathcal{B}}$, то $\omega \left(I^0\right)=1/n,n\in \mathbf{Z}\mathrm{\setminus }\{0\}$, (§4, гл. I) и, следовательно,
$${\sigma }_1=-iT{H}_{-n,1},{\sigma }_2=iT{H}_{n,-1}.$$

Согласно определению векового множества $\tilde{\mathcal{B}}$ коэффициенты $H_{-n,1}={\overline{H}}_{n,-1}$ отличны от нуля, поэтому комплексносопряженные интегралы ${\sigma }_1$ и ${\sigma }_2$ тоже не равны нулю. Предположим, что $\eta =0$. Тогда равенство (5.6) дает
$$\left|\frac{1-e^{-\alpha }}{1-e^{\alpha }}\right|=\left|\frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}\right|=1,$$

и, следовательно, $\alpha =0$. Но это не так.
Воспользуемся определением приращения функции $\mathcal{H}$,
$$\begin{array}{c}{\mathcal{H}}_0(I^0+\mu (I^1(\tau )+\xi )+\dots )+\mu {\mathcal{H}}_1(I^0+\dots ,\\ \omega \left(I^0\right)t+\dots ,t)-{\mathcal{H}}_0(I^0+\mu I^1(\tau )+\dots )-\\ -\mu {\mathcal{H}}_1(I^0+\dots ,\omega \left(I^0\right)t+\dots ,t)=\mu \eta +\dots \end{array}$$

Разлагая левую часть этого тождества в степенной ряд по $\mu$ и приравнивая члены при первой степени $\mu$, получим, что
$$\eta =\frac{\partial {\mathcal{H}}_0}{\partial I}\xi$$

Так как $\eta eq0$, то $\xi eq0$. Итак, действительно, функция $I^1(t)$ неоднозначна вдоль $\mathrm{\Gamma }$.

Используя непрерывную зависимость решений от начальных данных, легко получить, что $I^1(t)$ неоднозначна вдоль

контура $\mathrm{\Gamma }$ при всех $I=I^0$, принимающих значения из малого интервала ( $I_1^{\prime \prime },I_2^{\prime \prime }$ ), содержащего исходное начальное значение $I^0$. При этом $\xi =\xi \left(I^0\right)eq0$, когда $I^0\in (I_1^{\prime \prime },I_2^{\prime \prime })$.

Функция $\mathcal{F}(I,\phi ,t,\mu )$ — первый интеграл канонической системы уравнений с гамильтонианом (5.1). Значит, эта функция постоянна вдоль решений (5.3) и, следовательно, ее значения в момент времени $\tau \in \mathrm{\Gamma }$ и после обхода контура $\mathrm{\Gamma }$ совпадают. Отсюда
$$\begin{array}{c}{\mathcal{F}}_0(I^0+\mu I^1(\tau )+\dots )+\mu {\mathcal{F}}_1(I^0+\dots ,\\ \omega \left(I^0\right)t+\dots ,t)+\dots \equiv {\mathcal{F}}_0(I^0+\mu (I^1(\tau )+\xi )+\dots )+\\ +\mu {\mathcal{F}}_1(I^0+\dots ,\omega \left(I^0\right)t+\dots ,t)+\dots \end{array}$$

Снова разложим это тождество в ряд по степеням $\mu$ и приравняем нулю коэффициент при $\mu$. Тогда
$$\xi {\mathcal{F}}_0/\partial I=0.$$

Так как $\xi \left(I^0\right)eq0$, то $\partial {\mathcal{F}}_0/\partial I=0$, когда $I\in (I_1^{\prime \prime },I_2^{\prime \prime })$. Следовательно, $\partial {\mathcal{F}}_0/\partial I\equiv 0$ на интервале $(I_1,I_2)\supset (I_1^{\prime \prime },I_2^{\prime \prime })$ и ${\mathcal{F}}_0=$ $=$ const.
Функция
$${\mathcal{F}}_1+\mu {\mathcal{F}}_2+\dots$$

тоже является однозначным интегралом, аналитическим в области $\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\Omega }\times (-\epsilon ,\epsilon )$. Аналогично убеждаемся в том, что ${\mathcal{F}}_1=$ = const. Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко и прийти к заключению, что все ${\mathcal{F}}_k=$ const $(k=0,1,2,\dots )$. Тогда $\mathcal{F}$ будет просто постоянной.

ЗАМЕчаниЕ. В $\mathrm{\S }4$ гл. 1 доказано, что канонические уравнения с гамильтонианом (5.1) не имеют даже действительнозначных аналитических интегралов. Однако это утверждение и только что доказанная теорема 3 независимы (т.е. их нельзя формально вывести одно из другого).