Напомним, что функция Гамильтона этой задачи имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}=\mathscr{H}_{0}+\mu \mathscr{H}_{1}, \\
\mathscr{H}_{0}=\frac{p^{2}}{2}+\omega_{0}^{2} \cos q, \quad \mathscr{H}_{1}=\omega_{0}^{2} \cos q \cos t
\end{array}
\]
(подробности см. в § 4 гл. 1; мы положили здесь для простоты $
u=1$ ). В переменных действие-угол $I, \varphi$ невозмущенной задачи
\[
\mathscr{H}_{0}=\mathscr{H}_{0}(I), \quad \cos q=f(I, \varphi),
\]

где $\mathscr{H}_{0}$ определяется из неявного соотношения
\[
I=\frac{1}{2 \pi} \oint \sqrt{2\left(\mathscr{H}_{0}+\omega_{0}^{2} \cos x\right)} d x,
\]
a
\[
f(I, \varphi)=\operatorname{cn}^{2} \frac{\mathbf{K}}{\pi} \varphi-\operatorname{sn}^{2} \frac{\mathbf{K}}{\pi} \varphi .
\]

На интервале ( $\left.I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$, не содержащем точку
\[
I_{c}=\frac{\omega_{0}}{2 \pi} \oint \sqrt{2(1-\cos x)} d x,
\]

функция $\mathscr{H}_{0}$ аналитична. При всех $I \in\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$ функция $f$ аналитична на $\mathbf{T}^{1}\{\varphi \bmod 2 \pi\}$ и является однозначной мероморфной функцией в комплексной плоскости С. Таким образом,

в этой задаче естественно поставить вопрос о существовании однозначных аналитических интегралов.

Будем говорить, что система канонических уравнений с гамильтонианом (5.1) имеет однозначный интеграл $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$, если эта функция
1) есть первый интеграл,
2) является действительной аналитической функцией в области
\[
\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right) \times \mathbf{T}^{2}\{\varphi, t \bmod 2 \pi\} \times(-\varepsilon, \varepsilon),
\]
3) при фиксированных значениях $I, \mu$ однозначна по переменным $\varphi, t$ в прямом произведении $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$.

Пусть $I=I^{0} \in \widetilde{\mathscr{B}}(\mathscr{\mathscr { B }}-$ вековое множество), $\varphi^{0}=0$. Рассмотрим на комплексной плоскости времени $t \in C$ замкнутый контур $\Gamma$ — границу прямоугольника $A B C D$ (рис. 14). Здесь $T$ период функции $f\left(I^{0}, \omega\left(I^{0}\right) t\right) \cos t$, a $i \alpha\left(I^{0}\right)$ — чисто мнимый период Рис. 14 мероморфной функции $f\left(I^{0}, \omega z\right)$. Число $\tau$ выберем так, чтобы $f\left(I^{0}, \omega z\right)$ не имела полюсов на $Г$.

Обозначим через $\gamma$ замкнутую непрерывную кривую в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$, являющуюся образом следующего отображения
\[
\varphi=\omega\left(I^{0}\right) z, \quad t=z, \quad z \in \Gamma .
\]

Пусть $I_{1}, I_{2}$ — малый интервал $\mathbf{R}$, содержащий точку $I^{0}$, а $\Omega$ — связная окрестность контура $\gamma$ в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}, \Pi(s) \subset \Omega \subset$ $\subset \Pi(S), 0<s<S$, такая, что при всех $I \in\left(I_{1}, I_{2}\right)$ мероморфная функция $f(I, \varphi)$ не имеет полюсов в области $\Omega$. Здесь мы положили
\[
\Pi(\rho)=\{(\varphi, t) \in \mathbf{C} \times \mathbf{C}:|\operatorname{Im} \varphi|<\rho,|\operatorname{Im} t|<\rho\} .
\]

Теорема 3. Канонические уравнения с функцией Гамильтона (5.1) не имеют однозначного интеграла $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$, аналитического в прямом произведении $\left(I_{1}, I_{2}\right) \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$.

ДоКАЗатЕЛЬСТВо.
Прежде всего заметим, что функция $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$ аналитична в области $\Delta \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$, где
\[
\Delta=\left\{I \in \mathbf{C}: \operatorname{Re} I \in\left(I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}\right),|\operatorname{Im} I|<
u\right\},
\]

интервал $\left(I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}\right.$ ) содержит $I^{0}$ и лежит внутри $\left(I_{1}, I_{2}\right)$, а $
u-$ малое положительное число.
Разложим функцию $\mathscr{F}$ в ряд по степеням $\mu$ :
\[
\mathscr{F}=\mathscr{F}_{0}(I, \varphi, t)+\mu \mathscr{F}_{1}(I, \varphi, t)+\ldots
\]

Если $(I, \varphi, t) \in \Delta \times \Omega$, то этот ряд сходится при малых значениях параметра $\mu$. Покажем, что $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от переменных $\varphi$ и $t$. Действительно, если $(I, \varphi, t) \in\left(I_{1}, I_{2}\right) \times \mathbf{T}^{2}$, то из невырожденности невозмущенной системы вытекает, что $\mathscr{F}_{0}$ не содержит $\varphi, t$ ( $\S 3,4$ гл. I). Если же $(\varphi, t) \in \Omega$, то это утверждение следует из связности области $\Omega$.
Докажем теперь, что $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial I \equiv 0$ в интервале $\left(I_{1}, I_{2}\right)$.
Согласно теореме Пуанкаре $[1,3]$ решения возмущенной задачи можно разложить в сходящиеся ряды по степеням параметра $\mu$ вдоль контура $\Gamma$ :
\[
I=I^{0}+\mu I^{1}(t)+\ldots, \quad \varphi=\omega\left(I^{0}\right) t+\mu \varphi^{1}(t)+\ldots
\]

Покажем, что после обхода контура $\Gamma$ функция $I^{1}(t)$ получит приращение $\xi
eq 0$. Воспользуемся уравнением
\[
\dot{\mathscr{H}}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}=\mu \frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial t} .
\]

Положим
\[
\begin{array}{c}
\left.\frac{\partial \mathscr{H}_{1}}{\partial t}\right|_{\substack{I=I^{0} \\
\varphi=\omega t}}=\Phi(t)=-f\left(I^{0}, \omega t\right) \sin t= \\
=\frac{i}{2}\left[e^{i t} f\left(I^{0}, \omega t\right)-e^{-i t} f\left(I^{0}, \omega t\right)\right] .
\end{array}
\]

Рассмотрим значение функции $\mathscr{H}$ на решениях (5.3). Приращение $h$ этой функции после обхода контура $\Gamma$ можно разложить в сходящийся степенной ряд:
\[
h=h_{0}+\mu h_{1}+\ldots .
\]

Очевидно, что $h_{0}=0$ и
\[
\eta=h_{1}=\oint_{\Gamma} \Phi\left(I^{0}, t\right) d t .
\]

Функция $\Phi\left(I^{0}, t\right)$ периодична по $t$ с действительным периодом $T$, следовательно,
\[
\int_{B}^{C} \Phi\left(I^{0}, t\right) d t+\int_{D}^{A} \Phi\left(I^{0}, t\right) d t=0 .
\]

Положим
\[
\begin{array}{ll}
\sigma_{1}=\frac{i}{2} \int_{A}^{B} e^{i t} f\left(I^{0}, \omega t\right) d t, & \sigma_{2}=-\frac{i}{2} \int_{A}^{B} e^{-i t} f\left(I^{0}, \omega t\right) d t, \\
\Sigma_{1}=\frac{i}{2} \int_{C}^{D} e^{i t} f\left(I^{0}, \omega t\right) d t, & \Sigma_{2}=-\frac{i}{2} \int_{C}^{D} e^{-i t} f\left(I^{0}, \omega t\right) d t .
\end{array}
\]

Покажем, что
\[
\Sigma_{1}=-e^{-\alpha} \sigma_{1}, \quad \Sigma_{2}=-e^{-\alpha} \sigma_{2} .
\]

Действительно, заменяя переменные по формуле $t=z+i a$, получим
\[
\begin{aligned}
\Sigma_{1} & =\frac{i}{2} \int_{\tau+T}^{\tau} e^{i(z+i \alpha)} f\left(I^{0}, \omega(z+i \alpha)\right) d z= \\
& =-\frac{i}{2} e^{-\alpha} \int_{\tau}^{\tau+T} e^{i z} f\left(I^{0}, \omega z\right) d z=-e^{-\alpha} \sigma_{1} .
\end{aligned}
\]

Аналогично доказывается вторая формула.
Интеграл (5.4) с учетом формул (5.5) запишется в виде
\[
\eta=\left(1-e^{-\alpha}\right) \sigma_{1}+\left(1-e^{\alpha}\right) \sigma_{2} .
\]

Разложим возмущающую функцию $\mathscr{H}_{1}$ в двойной ряд Фурье (см. $\S 4$ гл. I)
\[
\mathscr{H}_{1}=\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m, 1}(I) e^{i(m \varphi+t)}+\sum_{-\infty}^{\infty} H_{m,-1}(I) e^{i(m \varphi-t)} .
\]

С другой стороны,
\[
\mathscr{H}_{1}=\frac{1}{2}\left[e^{i t} f(I, \varphi)+e^{-i t} f(I, \varphi)\right] .
\]

Так как $I^{0} \in \widetilde{\mathscr{B}}$, то $\omega\left(I^{0}\right)=1 / n, n \in \mathbf{Z} \backslash\{0\}$, (§4, гл. I) и, следовательно,
\[
\sigma_{1}=-i T H_{-n, 1}, \quad \sigma_{2}=i T H_{n,-1} .
\]

Согласно определению векового множества $\widetilde{\mathscr{B}}$ коэффициенты $H_{-n, 1}=\bar{H}_{n,-1}$ отличны от нуля, поэтому комплексносопряженные интегралы $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ тоже не равны нулю. Предположим, что $\eta=0$. Тогда равенство (5.6) дает
\[
\left|\frac{1-e^{-\alpha}}{1-e^{\alpha}}\right|=\left|\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}\right|=1,
\]

и, следовательно, $\alpha=0$. Но это не так.
Воспользуемся определением приращения функции $\mathscr{H}$,
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}_{0}\left(I^{0}+\mu\left(I^{1}(\tau)+\xi\right)+\ldots\right)+\mu \mathscr{H}_{1}\left(I^{0}+\ldots,\right. \\
\left.\omega\left(I^{0}\right) t+\ldots, t\right)-\mathscr{H}_{0}\left(I^{0}+\mu I^{1}(\tau)+\ldots\right)- \\
-\mu \mathscr{H}_{1}\left(I^{0}+\ldots, \omega\left(I^{0}\right) t+\ldots, t\right)=\mu \eta+\ldots
\end{array}
\]

Разлагая левую часть этого тождества в степенной ряд по $\mu$ и приравнивая члены при первой степени $\mu$, получим, что
\[
\eta=\frac{\partial \mathscr{H}_{0}}{\partial I} \xi
\]

Так как $\eta
eq 0$, то $\xi
eq 0$. Итак, действительно, функция $I^{1}(t)$ неоднозначна вдоль $\Gamma$.

Используя непрерывную зависимость решений от начальных данных, легко получить, что $I^{1}(t)$ неоднозначна вдоль

контура $\Gamma$ при всех $I=I^{0}$, принимающих значения из малого интервала ( $I_{1}^{\prime \prime}, I_{2}^{\prime \prime}$ ), содержащего исходное начальное значение $I^{0}$. При этом $\xi=\xi\left(I^{0}\right)
eq 0$, когда $I^{0} \in\left(I_{1}^{\prime \prime}, I_{2}^{\prime \prime}\right)$.

Функция $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$ — первый интеграл канонической системы уравнений с гамильтонианом (5.1). Значит, эта функция постоянна вдоль решений (5.3) и, следовательно, ее значения в момент времени $\tau \in \Gamma$ и после обхода контура $\Gamma$ совпадают. Отсюда
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{F}_{0}\left(I^{0}+\mu I^{1}(\tau)+\ldots\right)+\mu \mathscr{F}_{1}\left(I^{0}+\ldots,\right. \\
\left.\omega\left(I^{0}\right) t+\ldots, t\right)+\ldots \equiv \mathscr{F}_{0}\left(I^{0}+\mu\left(I^{1}(\tau)+\xi\right)+\ldots\right)+ \\
+\mu \mathscr{F}_{1}\left(I^{0}+\ldots, \omega\left(I^{0}\right) t+\ldots, t\right)+\ldots
\end{array}
\]

Снова разложим это тождество в ряд по степеням $\mu$ и приравняем нулю коэффициент при $\mu$. Тогда
\[
\xi \mathscr{F}_{0} / \partial I=0 .
\]

Так как $\xi\left(I^{0}\right)
eq 0$, то $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial I=0$, когда $I \in\left(I_{1}^{\prime \prime}, I_{2}^{\prime \prime}\right)$. Следовательно, $\partial \mathscr{F}_{0} / \partial I \equiv 0$ на интервале $\left(I_{1}, I_{2}\right) \supset\left(I_{1}^{\prime \prime}, I_{2}^{\prime \prime}\right)$ и $\mathscr{F}_{0}=$ $=$ const.
Функция
\[
\mathscr{F}_{1}+\mu \mathscr{F}_{2}+\ldots
\]

тоже является однозначным интегралом, аналитическим в области $\Delta \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$. Аналогично убеждаемся в том, что $\mathscr{F}_{1}=$ = const. Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко и прийти к заключению, что все $\mathscr{F}_{k}=$ const $(k=0,1,2, \ldots)$. Тогда $\mathscr{F}$ будет просто постоянной.

ЗАМЕчаниЕ. В $\S 4$ гл. 1 доказано, что канонические уравнения с гамильтонианом (5.1) не имеют даже действительнозначных аналитических интегралов. Однако это утверждение и только что доказанная теорема 3 независимы (т.е. их нельзя формально вывести одно из другого).