Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Напомним, что функция Гамильтона этой задачи имеет вид где $\mathscr{H}_{0}$ определяется из неявного соотношения На интервале ( $\left.I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$, не содержащем точку функция $\mathscr{H}_{0}$ аналитична. При всех $I \in\left(I^{\prime}, I^{\prime \prime}\right)$ функция $f$ аналитична на $\mathbf{T}^{1}\{\varphi \bmod 2 \pi\}$ и является однозначной мероморфной функцией в комплексной плоскости С. Таким образом, в этой задаче естественно поставить вопрос о существовании однозначных аналитических интегралов. Будем говорить, что система канонических уравнений с гамильтонианом (5.1) имеет однозначный интеграл $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$, если эта функция Пусть $I=I^{0} \in \widetilde{\mathscr{B}}(\mathscr{\mathscr { B }}-$ вековое множество), $\varphi^{0}=0$. Рассмотрим на комплексной плоскости времени $t \in C$ замкнутый контур $\Gamma$ – границу прямоугольника $A B C D$ (рис. 14). Здесь $T$ период функции $f\left(I^{0}, \omega\left(I^{0}\right) t\right) \cos t$, a $i \alpha\left(I^{0}\right)$ – чисто мнимый период Рис. 14 мероморфной функции $f\left(I^{0}, \omega z\right)$. Число $\tau$ выберем так, чтобы $f\left(I^{0}, \omega z\right)$ не имела полюсов на $Г$. Обозначим через $\gamma$ замкнутую непрерывную кривую в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}$, являющуюся образом следующего отображения Пусть $I_{1}, I_{2}$ – малый интервал $\mathbf{R}$, содержащий точку $I^{0}$, а $\Omega$ – связная окрестность контура $\gamma$ в $\mathbf{C} \times \mathbf{C}, \Pi(s) \subset \Omega \subset$ $\subset \Pi(S), 0<s<S$, такая, что при всех $I \in\left(I_{1}, I_{2}\right)$ мероморфная функция $f(I, \varphi)$ не имеет полюсов в области $\Omega$. Здесь мы положили Теорема 3. Канонические уравнения с функцией Гамильтона (5.1) не имеют однозначного интеграла $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$, аналитического в прямом произведении $\left(I_{1}, I_{2}\right) \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$. ДоКАЗатЕЛЬСТВо. интервал $\left(I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}\right.$ ) содержит $I^{0}$ и лежит внутри $\left(I_{1}, I_{2}\right)$, а $ Если $(I, \varphi, t) \in \Delta \times \Omega$, то этот ряд сходится при малых значениях параметра $\mu$. Покажем, что $\mathscr{F}_{0}$ не зависит от переменных $\varphi$ и $t$. Действительно, если $(I, \varphi, t) \in\left(I_{1}, I_{2}\right) \times \mathbf{T}^{2}$, то из невырожденности невозмущенной системы вытекает, что $\mathscr{F}_{0}$ не содержит $\varphi, t$ ( $\S 3,4$ гл. I). Если же $(\varphi, t) \in \Omega$, то это утверждение следует из связности области $\Omega$. Покажем, что после обхода контура $\Gamma$ функция $I^{1}(t)$ получит приращение $\xi Положим Рассмотрим значение функции $\mathscr{H}$ на решениях (5.3). Приращение $h$ этой функции после обхода контура $\Gamma$ можно разложить в сходящийся степенной ряд: Очевидно, что $h_{0}=0$ и Функция $\Phi\left(I^{0}, t\right)$ периодична по $t$ с действительным периодом $T$, следовательно, Положим Покажем, что Действительно, заменяя переменные по формуле $t=z+i a$, получим Аналогично доказывается вторая формула. Разложим возмущающую функцию $\mathscr{H}_{1}$ в двойной ряд Фурье (см. $\S 4$ гл. I) С другой стороны, Так как $I^{0} \in \widetilde{\mathscr{B}}$, то $\omega\left(I^{0}\right)=1 / n, n \in \mathbf{Z} \backslash\{0\}$, (§4, гл. I) и, следовательно, Согласно определению векового множества $\widetilde{\mathscr{B}}$ коэффициенты $H_{-n, 1}=\bar{H}_{n,-1}$ отличны от нуля, поэтому комплексносопряженные интегралы $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ тоже не равны нулю. Предположим, что $\eta=0$. Тогда равенство (5.6) дает и, следовательно, $\alpha=0$. Но это не так. Разлагая левую часть этого тождества в степенной ряд по $\mu$ и приравнивая члены при первой степени $\mu$, получим, что Так как $\eta Используя непрерывную зависимость решений от начальных данных, легко получить, что $I^{1}(t)$ неоднозначна вдоль контура $\Gamma$ при всех $I=I^{0}$, принимающих значения из малого интервала ( $I_{1}^{\prime \prime}, I_{2}^{\prime \prime}$ ), содержащего исходное начальное значение $I^{0}$. При этом $\xi=\xi\left(I^{0}\right) Функция $\mathscr{F}(I, \varphi, t, \mu)$ – первый интеграл канонической системы уравнений с гамильтонианом (5.1). Значит, эта функция постоянна вдоль решений (5.3) и, следовательно, ее значения в момент времени $\tau \in \Gamma$ и после обхода контура $\Gamma$ совпадают. Отсюда Снова разложим это тождество в ряд по степеням $\mu$ и приравняем нулю коэффициент при $\mu$. Тогда Так как $\xi\left(I^{0}\right) тоже является однозначным интегралом, аналитическим в области $\Delta \times \Omega \times(-\varepsilon, \varepsilon)$. Аналогично убеждаемся в том, что $\mathscr{F}_{1}=$ = const. Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко и прийти к заключению, что все $\mathscr{F}_{k}=$ const $(k=0,1,2, \ldots)$. Тогда $\mathscr{F}$ будет просто постоянной. ЗАМЕчаниЕ. В $\S 4$ гл. 1 доказано, что канонические уравнения с гамильтонианом (5.1) не имеют даже действительнозначных аналитических интегралов. Однако это утверждение и только что доказанная теорема 3 независимы (т.е. их нельзя формально вывести одно из другого).
|
1 |
Оглавление
|