Теорема 1. Пусть частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ независимы. Тогда существует точка $\varphi^{0} \in \mathbf{T}^{n}$ такая, что
\[
I\left(t, \varphi^{0}\right)-\lambda t \geqslant 0(\leqslant 0) \quad \forall t \in \mathbf{R}
\]
$u f\left(\varphi^{0}\right)=\lambda$.
Замечание. Уточнение теоремы Боля [73] состоит в том, что начальные фазы $\varphi^{0}=\left(\varphi_{1}^{0}, \ldots, \varphi_{n}^{0}\right)$, для которых справедливы неравенства (1.1), существуют на множестве $\left\{\varphi \in \mathbf{T}^{n}: f(\varphi)=\right.$ $=\lambda\}$. В теореме Боля есть еще дополнительное условие: разность $I\left(t, \varphi^{0}\right)-\lambda t$ должна быть неограниченной.

Лемма 1. Теорема 1 справедлива для тригонометрических многочленов.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВО.
Так как частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ независимы, то для любого тригонометрического многочлена $f(\varphi)$ со средним значением $\lambda$ найдется многочлен $g(\varphi)$ такой, что
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial g}{\partial \varphi_{1}} \omega_{i}=f-\lambda
\]

Тогда
\[
I(t, \varphi)=\int_{0}^{t} f(\omega t+\varphi) d t=\lambda t+g(\omega t+\varphi)-g(\varphi) .
\]

Пусть $g(\varphi)$ имеет минимум (максимум) в точке $\varphi=\varphi^{0}$. Тогда
\[
I\left(t, \varphi^{0}\right)-\lambda t \geqslant 0(\leqslant 0) \quad \forall t \in \mathbf{R}
\]

и $\partial g / \partial g_{i}=0$ при $\varphi_{i}=\varphi_{i}^{0}(i=1, \ldots, n)$. Учитывая (1.2), получим, что $f\left(\varphi^{0}\right)=\lambda$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТВо ТЕоРЕМЫ 1.
Для любой непрерывной функции $f(\varphi)$ существует последовательность тригонометрических многочленов $P_{m}(\varphi)$ такая, что
\[
\max _{\varphi \in \mathbf{T}^{n}}\left|f(\varphi)-P_{m}(\varphi)\right| \rightarrow 0
\]

при $m \rightarrow \infty$. Обозначим через $\lambda$ и $\lambda_{m}$ фазовые средние функций $f$ и $P_{m}$. По лемме 1 существуют начальные фазы $\varphi_{m}^{0}$, при которых
\[
I_{m}\left(t, \varphi_{m}^{0}\right)=\int_{0}^{t} P_{m}\left(\omega t+\varphi_{m}^{0}\right) d t \geqslant \lambda_{m} t\left(\leqslant \lambda_{m} t\right) \quad \forall t \in \mathbf{R}
\]

и $P_{m}\left(\varphi_{m}^{0}\right)=\lambda_{m}$. Так как $\mathbf{T}^{n}-$ компакт, то из последовательности $\varphi_{m}^{0}$ ( $m=1,2, \ldots$ ) можно выбрать подпоследовательность $\varphi_{m_{k}}^{0}(k=1,2, \ldots)$, сходящуюся к некоторой точке $\varphi^{0} \in \mathbf{T}^{n}$. При фиксированном $t \in \mathbf{R}$
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} I_{m_{k}}\left(t, \varphi_{m_{k}}^{0}\right)=I\left(t, \varphi^{0}\right), \quad \lim _{k \rightarrow \infty} P_{m_{k}}\left(\varphi_{m_{k}}^{0}\right)=f\left(\varphi^{0}\right) .
\]

Так как $\lim _{m \rightarrow \infty} \lambda_{m}=\lambda$, то
\[
I\left(t, \varphi^{0}\right)-\lambda t \geqslant 0(\leqslant 0) \quad \forall t \in \mathbf{R}
\]

и $f\left(\varphi^{0}\right)=\lambda$.
Покажем, что теорема 1 справедлива и в том случае, когда частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ соизмеримы. Более точно, имеет место

Предложение 1. Если частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ рационально зависимы, то существуют по крайней мере две точки $\varphi^{0} \in \mathbf{T}^{n}$ такие, что
\[
I\left(t, \varphi^{0}\right)-\lambda t \geqslant 0(\leqslant 0) \quad \forall t \in \mathbf{R}
\]
$u f\left(\varphi^{0}\right)=\lambda$.
Для доказательства нам потребуется
Лемма 2. Если наибольший общий делитель целых чисел $k_{1}, \ldots, k_{n}$ равен 1 , то существует унимодулярная матрица $S$ порядка п с целочисленными элементами такая, что одна из ее строк есть $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$.

Для доказательства рассмотрим одномерную подгруппу $\mathbf{H}$ группы $\mathbf{Z}^{n}$, порожденную точкой $k$. Существует свободная система $n$ точек $a_{1}, \ldots, a_{n}$, порождающая $\mathbf{Z}^{n}$, такая,

что $b a_{n}=k$, где $b$ – инвариантный множитель $\mathbf{H}$ относительно $\mathbf{Z}^{n}$ – некоторое целое число $[74$, гл. VII, § 4]. Так как н.о.д. целых чисел $k_{1}, \ldots, k_{n}$ равен 1 , то, очевидно, $b= \pm 1$ и $k= \pm q_{n}$. Точки $a_{i}$ образуют базис $\mathbf{Z}^{n}$, следовательно,
\[
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right|=1,
\]

где $a_{i}=\left(a_{i 1} \ldots a_{i n}\right)$. Утверждение доказано.
ЗАмЕчаниЕ. В случае $n=2$ заключение леммы вытекает также из «тождества Безу» $\left[74\right.$, гл. VII]: н.о.д. $\left(k_{1}, k_{2}\right)=1$ тогда и только тогда, когда существуют целые числа $m_{1}$ и $m_{2}$ такие, что $m_{1} k_{1}+$ $+m_{2} k_{2}=1$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 1.
Пусть частоты связаны линейным соотношением
\[
k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{n} \omega_{n}=0 ; \quad k_{i} \in \mathbf{Z} ; \quad i=1, \ldots, n
\]

и $\sum_{i}\left|k_{i}\right|
eq 0$. Без ущерба общности можно считать, что
\[
\text { н.о.д. }\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)=1 \text {. }
\]

Рассмотрим линейное взаимно-однозначное отображение $\mathbf{T}^{n}$ на себя, задаваемое унимодулярной матрицей $S$ с целыми элементами:
\[
\begin{aligned}
\psi_{1} & =s_{11} \varphi_{1}+\ldots+s_{1 n} \varphi_{n} \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\psi_{n} & =s_{n 1} \varphi_{1}+\ldots+s_{n n} \varphi_{n}
\end{aligned}
\]

где $s_{n 1}=k_{1}, \ldots, s_{n n}=k_{n}$. Переменные $\psi_{1}, \ldots, \psi_{n} \bmod 1-$ новые угловые координаты на $\mathbf{T} n$. В этих переменных
\[
\begin{aligned}
\dot{\psi}_{1} & =s_{11} \omega_{1}+\ldots+s_{1 n} \omega_{n}=\Omega_{1}, \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\dot{\psi}_{n-1} & =s_{n-1,1} \omega_{1}+\ldots+s_{n-1,1} \omega_{n}=\Omega_{n-1}, \\
\dot{\psi}_{n} & =k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{n} \omega_{n}=0
\end{aligned}
\]

и, следовательно,
\[
\psi_{1}=\Omega_{1} t+\psi_{1}^{0}, \ldots, \psi_{n-1}=\Omega_{n-1} t+\psi_{n-1}^{0}, \psi_{n}=\psi_{n}^{0} .
\]

Будем считать, что $\operatorname{det} S=1$ (если $\operatorname{det} S=-1$, то в матрице $S$ можно переставить местами строки).
По формуле замены переменных в кратных интегралах
\[
\begin{array}{c}
\lambda=\oint_{\mathbf{T}^{n}} f\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right) \operatorname{det} S d \psi_{1} \ldots d \psi_{n}= \\
=\int_{0}^{1}\left\{\int_{0}^{1} \ldots \int_{0}^{1} f\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n-1}, \psi_{n}\right) d \psi_{1} \ldots d \psi_{n-1}\right\} d \psi_{n} .
\end{array}
\]

Функция
\[
J(x)=\int_{0}^{1} \ldots \int_{0}^{1} f\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n-1}, x\right) d \psi_{1} \ldots d \psi_{n-1}
\]

непрерывна на $\mathbf{T}^{1}\{x \bmod 1\}$ и
\[
\int_{0}^{1} J(x) d x=\lambda .
\]

Следовательно, существуют по крайней мере два значения $\psi_{n}^{0}$ такие, что $J\left(\psi_{n}^{0}\right)=\lambda$. Другими словами, существуют два тора
\[
\mathbf{T}^{n-1}=\left\{\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{n}\right) \in \mathbf{T}^{n}: \psi_{n}=\psi_{n}^{0}\right\} \subset \mathbf{T}^{n}
\]

такие, что фазовые средние сужения функции $f$ на $\mathbf{T}^{n-1}$ равны в точности $\lambda$. На $\mathbf{T}^{n-1}\left\{\psi_{1}, \ldots, \psi_{n-1} \bmod 1\right\}$ естественным образом возникает квазипериодическое движение:
\[
\psi_{1}=\Omega_{1} t+\psi_{1}^{0}, \ldots, \psi_{n-1}=\Omega_{n-1} t+\psi_{n-1}^{0} .
\]

Если частоты $\Omega_{1}, \ldots, \Omega_{n-1}$ несоизмеримы, то справедливость предложения вытекает из теоремы 1. Если же $\Omega_{1}, \ldots$, $\Omega_{n-1}$ соизмеримы, то эту операцию можно проделать еще раз. $\mathrm{B}$ конце концов мы придем к $m$-мерному тору $\mathbf{T}^{m} \subset \mathbf{T}^{n}$ $(1 \leqslant m<n)$ с независимыми частотами.