§ 8.16. Касательная плоскость и нормаль
Пусть поверхность
задана уравнением
(1)
в неявном виде. Будем считать,
что
и в
некоторой окрестности точки
функция
имеет непрерывные частные
производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(2)
Мы пишем
вместо
.
Для определенности предположим,
что
.
Тогда на основании теоремы о неявной функции существует окрестность точки
, в которой
поверхность
описывается
явно непрерывно дифференцируемой функцией
. Уравнение касательной плоскости к
в точке
, как мы знаем,
имеет вид
,
где
.
В силу этого уравнения
касательной плоскости к
в точке
запишется так:
, (3)
а уравнение нормали к
в точке
- так:
.
(4)
Те же уравнения (3), (4) мы
получим, если предположить, что
или
. В этих случаях в окрестности
поверхность
описывается явно
соответственно уравнениями
.
Мы видим, что при условии (2)
поверхность
в
любой точке
имеет
касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся при непрерывном передвижении
точки
.
Такую поверхность называют гладкой поверхностью
.
Другое дело, если
. В этом случае
нельзя гарантировать, что в точке
существует касательная плоскость к
. Она может
существовать, а может и не существовать.
П р и м е р. Уравнение
(5)
определяет круговой конус с
вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью
(рис. 100).
Левая часть уравнения (5) имеет
частные производные
,
одновременно не равные нулю, если
точка
.
В любой такой точке, которую обозначим через
, касательная плоскость определяется
уравнением
.
В начале же координат касательная
плоскость к нашей конической поверхности не существует. В этом случае
.
Рис. 100
Точки
, лежащие на поверхности
, в которых
, называют особыми
точками поверхности
.
Рассмотрим непрерывно
дифференцируемую функцию
(6)
на некоторой области
точек
. Пусть в точке
ее значение равно
числу
:
.
Если частные производные от
в точке
одновременно не
равны нулю, то уравнение
определяет в окрестности этой точки
некоторую гладкую поверхность
, называемую поверхностью уровня
функции (6).
Касательная плоскость к
в точке
имеет уравнение
.
Нормаль к
в точке
, т. е. прямая,
проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно,
имеет уравнение
.
Мы видим, что вектор
направлен по нормали к
поверхности
.
Уравнение
, где функция
имеет непрерывные
частные производные, определяет некоторую гладкую поверхность
. Положим,
. Если в точке
частные
производные
,
одновременно
не равны нулю, то уравнение
определяет в окрестности точки
некоторую гладкую кривую
(линию уровня функции
).
Уравнение касательной к
в
имеет вид
.
Вектор
направлен по нормали к
(в плоскости
) в точке
.