УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

— непрерывная зависимость решения разностной задачи от входных данных. Под разностной схемой (р. с.) понимают систему разностных yp-ний, аппроксимирующую ту или иную задачу матем. физики. Предположим, что исходная дифф. задача поставлена корректно, т. е., что ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных. Запишем исходную дифф. задачу в виде

где G — область изменения независимых переменных линейпый дифф. оператор, входные данные (правые части осн. ур-ния и граничных условий и начальные данные). При численном решении задачи (1) методом конечных разностей область G заменяется дискретным мн-вом точек сеткой. Параметр h (шаг) характеризует плотность сетки, так что при Аппроксимировав входящие в ур-ние (1) дифф. операторы разностными, а правую часть сеточной ф-цией получим р. с.

где линейный разностный оператор. Считают, что разностная задача (2) поставлена корректно, если при всех достаточно малых h и при любых правых частях ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных причем эта зависимость равномерна по h. Свойство равномерной относительно h непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных и наз. У. р. с.

Для вычисления на ЭВМ практически пригодны только устойчивые р. с. Предположим, что мн-во функций, заданных на сетке образует линейное нормированное пространство (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе). Тогда У. р. с. вида (2) означает, что для решения задачи (2) при всех достаточно малых h и при любых справедлива оценка

где постоянная, не зависящая от h и некоторые нормы в Решение задачи (2) сходится к решению задачи (1), если при . Для разности получаем задачу

где правая часть погрешность аппроксимации схемы (2). Из приведенных выше определений следует, что если разностная задача (2) поставлена корректно и аппроксимирует корректно поставленную задачу (1), то решение задачи (2) сходится к решению и задачи (1).

Рассмотрим некоторые р. с. для ур-ния теплопроводности

В области построим сетку где шаг по пространству, шаг по времени. Аппроксимируем задачу (5) системой разностных ур-ний

где

Погрешность аппроксимации V схемы (6) — величина порядка если и если то . Р. с. (6) содержит параметры их, которыми можно управлять в определенных пределах. При практическом использовании схемы (6) важно выяснить область изменения

параметров , в которой схема (6) является устойчивой или, иными словами, определить условия устойчивости р. с. Исследование устойчивости р. с. (6) можно произвести, напр., методом разделения переменных или методом энерг. неравенств.

В методе разделения переменных решение задачи (6) ищут в виде суммы

где собственные функции оператора (7), коэфф., подлежащие оцределению. Известно, что ф-ции образуют ортонормированкую в смысле скалярного произведения

систему мн-ве сеточных ф-ций, обращающихся в куль при Подставив ур-ние (8) в ур-ние (6) и приняв во внимание линейную независимость ф-ций находим рекуррентное соотношение для определения

где - собственное значение номера к оператора (7),

Если выполнено условие

то и, следовательно,

т. е. схема (6) устойчива в норме

Неравенство (10) является условием У. р. с. (6).

Метод энергетических неравенств состоит в замене задачи (6) энерг. тождеством

где определяется согласно (11),

Учитывая оценку справедливую -для всех сеточных ф-ций, равных нулю при получим из (12) энерг. неравенство

Из этих неравенств следует, что, если выполнено условие (10), для решения задачи (6) справедлива оценка означающая У. р. с. (6) в корме

Любую р. с. можно рассматривать независимо от тех или иных исходных дифф. ур-ний как операторное ур-ние (см. Уравнений классификация) в некотором линейном пространстве. Нанр., всякую двухслойную р. с. можно записать в виде ур-ния

где А и В — линейные операторы, действующие в некотором пространстве (пространстве сеточных ф-ций), ф-ция дискретного аргумента со значениями в Запись двухслойной р. с. в виде канонической формой двухслойной р. с. Условия У. р. с. (13) формулируются в виде ряда требований, налагаемых на операторы А и В. Пусть действительное гильбертово пространство со скалярным произведением и кормой Если в схеме (13) оператор А не зависит от t, является самосопряженным и положительным, то для устойчивости схемы (13) достаточно потребовать выполнения условия

При этом условии для решения задачи (1) справедлива оценка

Отсюда видно, что У. р. с. определяется такими весьма общими свойствами разностных операторов, как их самосопряженностью и положительностью. При таком общем подходе к исследованию устойчивости структуру операторов А и В можно не конкретизировать. Любую трехслойкую р. с. можно записать в каноническом виде заданны)

Если А и R — самосопряженные положительные операторы, не зависящие от то для устойчивости схемы (15) достаточно, чтобы выполнялись условия

Лит.: Рябенький B. C., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М., 1956 [библиогр. с. 169—171]; Годунов С. К., Рябенький B. C. Разностные схемы. М., 1973 [библиогр. с. 3971: Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М., 1973 [библиогр. с. 400—413]; Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ. М., 1972 [библиогр. с. 381—413].

А. А. Самарский, А. В. Гулин.