§ 46. Гравитационное поле

Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. Всякое тело изменяет свойства окружающего его пространства — создает в нем гравитационное поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенное в него другое тело оказывается под действием силы. Об «интенсивности» гравитационного поля, очевидно, можно судить по величине силы, действующей в данной точке на тело с массой, равной единице. В соответствии с этим величину называют напряженностью гравитационного поля.

В этой формуле F есть гравитационная сила, действующая на материальную точку массы в данной точке поля.

Размерность G совпадает с размерностью ускорения. Напряженность поля тяготения вблизи поверхности Земли равна ускорению свободного падения g (с точностью до поправки, обусловленной вращением Земли, см. § 33).

Из формулы (45.2) легко заключить, что напряженность поля, создаваемого материальной точкой массы , равна

где — орт радиуса-вектора, проведенного из материальной точки в данную точку поля, — модуль этого радиуса-вектора.

Пусть гравитационное поле создается закрепленной в начале координат материальной точкой массы . Тогда на материальную точку массы , находящуюся в точке с радиусом-вектором , будет действовать сила

В § 30 было показано, что потенциальная энергия точки определяется в этом случае выражением

(потенциальная энергия при принята равной нулю). Выражение (46.4) можно трактовать также как взаимную потенциальную энергию материальных точек .

Из (46.4) видно, что каждой точке поля, создаваемого материальной точкой , соответствует определенное значение потенциальной энергии, которой обладает в этом поле материальная точка . Поэтому поле можно характеризовать потенциальной энергией, которой обладает в данном месте материальная точка с Величину

называют потенциалом гравитационного поля. В этой формуле U есть потенциальная энергия, которой обладает материальная точка массы в данной точке поля.

Зная потенциал поля, можно вычислить работу, совершаемую над частицей силами поля при перемещении ее из положения 1 в положение 2. Согласно формуле (22.1) эта работа равна

Согласно (46.1) и (46.5) сила, действующая на частицу , равна а потенциальная энергия этой частицы равна

В соответствии с формулой (22.7) , т. е. . Вынеся из под знака градиента константу и сократив затем на эту константу, придем к соотношению между напряженностью и потенциалом гравитационного поля:

Найдем выражение для взаимной потенциальной энергии однородного шарового слоя и материальной точки массы , причем рассмотрим два случая, отвечающие нахождению точки вне и внутри слоя. Начнем со случая, когда находится вне слоя (рис. 46.1, а).

Рис. 46.1.

Выделим из слоя кольцо, края которого отвечают значениям угла и Радиус этого кольца равен , а ширина а (а — радиус слоя). Следовательно, площадь кольца определяется выражением . Если толщина слоя а плотность , то масса кольца равна Все точки кольца находятся от на одинаковом расстоянии . Поэтому согласно (46.4) взаимная потенциальная энергия кольца и массы определяется выражением

Чтобы получить потенциальную энергию всего шарового слоя и массы , нужно проинтегрировать выражение (46.8) по углу в пределах от 0 до . При этом переменная изменяется в пределах от до а ( — расстояние от центра слоя 0 до ). Выражение (46.8) содержит две связанные друг с другом переменные: и . Прежде чем приступить к интегрированию, нужно исключить одну из этих переменных. Интегрирование упрощается, если исключить переменную Связь между можно получить, воспользовавшись теоремой косинусов. Из рис. 46.1 видно, что

Продифференцировав это соотношение, получим, что

Отсюда Произведя в (46.8) такую замену, получим:

Интегрирование по в пределах от до дает

(46.9)

Выражение дает объем слоя, а — его массу Таким образом, взаимная потенциальная энергия шарового слоя и массы равна

(46.10)

где — расстояние от центра слоя до .

Для случая, когда масса помещается внутри слоя (см. рис. 46.1, б), все выкладки остаются теми же. Иными будут лишь пределы интегрирования в (46.9), так как меняется в этом случае от значения до Следовательно,

Таким образом, в этом случае потенциальная энергия одинакова для всех и равна значению (46.10), получающемуся для

Выражение (46.10) можно трактовать как потенциальную энергию частицы в поле, создаваемом шаровым слоем массы Взятая с обратным знаком производная от этой энергии по равна проекции на направление силы, действующей на частицу:

Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону убывания , т. е. к центру слоя.

Из формулы (46.12) следует, что шаровой слой действует на частицу с такой силой, с какой действовала бы помещенная в центр слоя материальная точка с массой, равной массе слоя.

Выражение (46.11) не зависит от координат частицы. Поэтому градиент этого выражения равен нулю для всех . Таким образом, частица, находящаяся внутри слоя, не подвержена действию никакой силы.

Каждый элемент слоя действует, конечно, на частицу с некоторой силой, но сумма сил, действующих со стороны всех элементов слоя, равна нулю.

Теперь рассмотрим систему, состоящую из однородного шара массы М и материальной точки (частицы) массы т. Разобьем шар на слои массы . Каждый слой действует на частицу с силой, определяемой формулой (46.12). Просуммировав это выражение по всем слоям, получим силу, с которой шар действует на частицу:

(46.13)

Действие шара на частицу эквивалентно действию помещенной в центр шара материальной точки с массой, равной массе шара (см. предыдущий параграф).

Если взять шар со сферической полостью внутри, то на частицу, находящуюся в этой полости, не будет действовать никакая сила.

Просуммировав по всем слоям сплошного или полого шара выражение (46.10), получим взаимную потенциальную энергию частицы и шара:

(46.14)

Здесь М — масса шара, — масса частицы, — расстояние от частицы до центра шара.

Из (46.13) и (46.14) вытекает, что гравитационное поле, создаваемое однородным шаром, эквивалентно (вне шара) полю, создаваемому материальной точкой с той же массой, находящейся в центре шара.

Рассмотрим два однородных шара с массами Второй шар испытывает со стороны первого такое же действие, какое оказывала бы материальная точка массы находящаяся в центре первого шара. По третьему закону Ньютона соответствующая сила равна по величине силе, с которой второй шар действовал бы на материальную точку Согласно (46.13) модуль этой силы равен Таким образом, мы доказали, что однородные шары взаимодействуют как материальные точки, помещающиеся в их центрах.