ГЛАВА 2 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 2.1. Введение

Пусть в трехмерном пространстве, в котором определена прямоугольная система координат , задана непрерывная поверхность

,

где  есть ограниченное (двумерное) множество, для которого возможно определить понятие его площади (двумерной меры, см. ниже § 2.2). В качестве  может быть взят круг, прямоугольник, эллипс и т. д. Будем считать, что функция  положительная, и поставим задачу: требуется определить объем тела, ограниченного сверху нашей поверхностью, снизу плоскостью  и с боков цилиндрической поверхностью, проходящей через границу у плоского множества , с образующей параллельной оси .

Искомый объем естественно определить следующим образом. Разделим  на конечное число частей

,                                                                              (1)

перекрывающихся между собой разве что по своим границам. Однако эти части должны быть такими, чтобы можно было определить их площади (двумерные меры), которые мы обозначим соответственно через .

Введем понятие диаметра множества  - это есть точная верхняя грань .

В каждой части  выберем по произвольной точке  и составим сумму

,                                                    (2)

которую естественно считать приближенным выражением искомого объема . Надо думать, что приближение  будет тем более точным, чем меньшими будут диаметры  частей . Поэтому естественно объем нашего тела определить как предел суммы (2)

,                                                            (3)

когда максимальный диаметр частичных множеств разбиения (1) стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует и равен одному и тому же числу независимо от способа последовательного разбиения .

Можно отвлечься от задачи о нахождении объема тела и смотреть на выражение (3) как на некоторую операцию, которая производится над функцией , определенной на . Эта операция называется операцией двойного интегрирования по Риману функции  на множестве , а ее результат - определенным двойным интегралом (Римана) от  на , обозначаемым так:

.

Пусть теперь в трехмерном пространстве, где определена прямоугольная система координат , задано тело  (множество) с неравномерно распределенной в нем массой с плотностью распределения . Требуется определить общую массу тела . Чтобы решить эту задачу, естественно произвести разбиение  на части , объемы (трехмерные меры) которых (в предположении, что они существуют) пусть будут , выбрать произвольным образом в каждой части по точке  и считать, что искомая масса равна

.                                                  (4)

Снова на выражение (4) можно смотреть как на определенную операцию над функцией , заданной теперь на трехмерном множестве . Эта операция на этот раз называется операцией тройного интегрирования (по Риману), а результат ее - определенным тройным интегралом (Римана), обозначаемым так:

.

В этом же духе определяется понятие -кратного интеграла Римана.

Мы увидим, что часть теории кратного интегрирования, содержащая теоремы существования и теоремы об аддитивных свойствах интеграла, может быть изложена совершенно аналогично как в одномерном, так и в -мерном случае. Однако в теории кратных интегралов возникают трудности, которых не было у нас при изложении теории однократных интегралов.

Рис.26                                                     Рис.27

Дело в том, что однократный интеграл Римана мы определили для очень простого множества - отрезка , который дробился снова на отрезки. Никаких трудностей в определении длины (одномерной меры) отрезков не возникало. Между тем в случае двойных и вообще -кратных интегралов область интегрирования  приходится делить на части с криволинейными границами, и возникает вопрос об общем определении понятия площади или вообще  - мерной меры этих частей.

В двумерном случае мы будем иметь дело с ограниченными областями, имеющими гладкую границу (рис. 26) или кусочно-гладкую границу (рис. 27), т. е. состоящую из конечного числа гладких кусков (линий).

Эти области в свою очередь приходится делить на части, имеющие кусочно-гладкую границу.

Каждой такой области  и некоторым другим множествам можно привести в соответствие положительное число , называемое площадью или двумерной мерой Жордана (общее определение двумерной меры Жордана дано в § 2.2).

При этом выполняются свойства:

1) Если  - прямоугольник с основанием  и высотой , то .

2) Если  и  имеют меры , то .

3) Если область  разрезана при помощи кусочно-гладкой кривой на две части  и , то

.

Существуют множества двумерной меры нуль такие, как точка, отрезок, гладкая или кусочно-гладкая кривая.

В трехмерном случае нас будут интересовать области, имеющие в качестве своей границы кусочно-гладкие поверхности. Про такие области будем говорить, что они имеют кусочно-гладкую границу. Шар, эллипсоид, куб могут служить примерами таких областей.

Поверхность называется гладкой, если в любой ее точке к ней можно провести касательную плоскость, непрерывно изменяющуюся вместе с этой точкой. Поверхность называется кусочно-гладкой, если ее можно разрезать на конечное число гладких кусков. По линиям разрезов касательные плоскости к поверхности могут и не существовать.

Для трехмерных ограниченных областей  с кусочно-гладкими границами можно определить их объем (трехмерную меру), т. е. положительное число , удовлетворяющее свойствам:

1) Если  - прямоугольный параллелепипед с ребрами , то .

2) Если,  и  имеют меры , то

.

3) Если область  разрезана при помощи кусочно-гладкой поверхности на части  и , то

.

Есть множества трехмерной меры нуль. Такими являются точка, отрезок, прямоугольник (плоский), гладкая или кусочно-гладкая поверхность.

По аналогии можно рассматривать -мерные области  с кусочно-гладкой границей и для них определить -мерную меру - , обладающую свойствами, подобными свойствам 1), 2), 3).

Прямоугольник  в  определяется как множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

.

Мера (-мерная)  определяется как произведение:

.

Примером гладкой поверхности  может быть множество точек , удовлетворяющих уравнению

,

где  может иметь одно из значений . При этом  есть непрерывно дифференцируемая функция на замыкании некоторой -мерной ограниченной области  точек .

Кусочно-гладкая поверхность в по определению состоит из конечного числа гладких кусков (поверхностей), пересекающихся между собой разве что по их краям.

Повторим определение кратного интеграла, не прибегая к задачам геометрического или физического содержания.

Пусть в -мерном пространстве  задана ограниченная область  с кусочно-гладкой границей  и на  (или ) задана функция

.

Разрежем  на части , пересекающиеся разве что по своим границам, которые будем считать кусочно-гладкими. Для краткости будем говорить, что мы произвели разбиение  множества .

Выберем в каждой части  по произвольной точке  и составим сумму

,

которую будем называть интегральной суммой Римана функции  отвечающей разбиению . Предел суммы

,                 (5)

когда максимальный диаметр частичных множеств  стремится к нулю, называется кратным интегралом от функции на  (или по ).

Подчеркнем, что предел (5) называется кратным интегралом функции , если он не зависит от выбора точек  в  и не зависит от способов разбиения  области .

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Будем ли мы вычислять предел (5) для области  или для ее замыкания , не имеет значения. Это связано с тем, что , где  - граница , предположенная кусочно-гладкой. А кусочно-гладкая граница имеет  - мерную меру нуль (, см. ниже § 2.2).

Замечание 2. Если предел (5), т.е. кратный интеграл  существует, то функция  ограничена на . Это доказывается так же, как в случае одномерного определенного интеграла.

Рис. 28

Замечание 3. Если , то сумма мер тех частиц , которые непосредственно прилегают к кусочно-гладкой границе , тоже стремится к нулю

.

Здесь двойной штрих при  обозначает, что сумма распространена на те части , которые прилегают к .

Например, если область  разрезать на части при помощи квадратной сетки, как на рис. 28, то соответствующее разбиение можно записать в виде

,

где сумма  распространена на полные квадратики (попавшие в ), а сумма  - на неполные квадратики. Важно, что мера второй суммы стремится к нулю при неограниченном стремлении диаметра диагонали квадратиков сетки к нулю:

.

Замечание 4. Из предыдущих замечаний следует, что

.

Это показывает, что интеграл (5) можно определить так же, как предел суммы

,

распространенной только на такие части  разбиения, которые не прилегают к .

Замечания 1, 2, 3, 4 мы формально не обосновываем. Впрочем, они легко вытекают из приводимого ниже § 2.2.