15. Задачи для всех разделов курса

1. Доказать, что коэффициент полезного действия цикла Карно имеет наибольшее значение среди всех циклов, функционирующих между теми же крайними температурами, что и цикл Карно.

Доказательство. Расмотрим на диаграмме произвольный цикл совершающийся между крайними температурами и Опишем около него цикл Карно 12341, ограниченный теми же самыми крайними температурами (см. рис. 61). Если разбить цикл Карно на бесконечно большое число элементарных циклов, то их адиабаты также разбивают рассматриваемый нами цикл на бесконечно малые циклы, подобные циклам Карно. каждого элементарного цикла Карно будет, очевидно, равен:

Тогда к. п. д. элементарных циклов, на которые разбиваются циклы могут быть представлены в виде равенства:

где являются крайними температурами, различными для каждого элементарного цикла. Температура является наибольшей, а температура наименьшей из температур обоих процессов, что видно из рисунка 61, т. е.

а отсюда как следствие:

Рис. 61.

Таким образом, если произвольной малой части рассматриваемого цикла меньше или равен к. п. д.

соответствующего элементарного цикла Карно, то очевидно, что всего рассматриваемого цикла будет меньше или равен цикла Карно, совершающегося между теми же самыми крайними температурами.

Допустим, далее, что в обоих процессах системы получают от теплоотдатчика одинаковое количество теплоты и теплота, превращенная в работу в цикле Карно, равна а в цикле Тогда, используя неравенство (4), можно записать, что

откуда следует уравнение:

Так как согласно (6) количество теплоты, превращенное в механическую работу при круговом процессе Карно, больше или равно количеству теплоты при процессе следовательно, количество теплоты, которое передает система теолоприемнику при цикле Карно, будет наименьшим. А отсюда следует, что к. п. д. цикла Карно является наибольшим.

Термический к. п. д. цикла Карно увеличивается при возрастании температуры и при уменьшении но он не может быть равен единице. Такой случай может быть только при что, как мы видели выше, неосуществимо.

2. Найти коэффициент полезного действия цикла, состоящего из двух изотерм и двух изохор (см. рис. 62).

Рис. 62.

Решение. В этом случае работающее тело получает теплоту от теплоотдатчика, когда система расширяется по изотерме с температурой от до В и при замыкании цикла по изохоре от точки С до А.

Система отдает теплоту теплоприемнику при охлаждении на изохоре от точки В до и при сжатии по изотерме с температурой Количество теплоты, полученное от теплоотдатчика, равно:

а отданное теплоприемнику —

Кроме того, должно выполняться условие, что

В этом случае к. п. д. цикла будет равен:

или

Разделив правую часть в (5) на получим в окончательном виде

Уравнение (6) показывает, что к. п. д. рассмотренного цикла меньше, чем максимальный к. п. д. цикла Карно. Если создать добавочные устройства, которые при осуществлении рассмотренного цикла будут воспринимать теплоту при охлаждении газа на изохоре и отдавать ее газу на изохоре С А, то тогда к. п. д. цикла будет одинаковым с циклом Карно.

Действительно, теплота, превращаемая в цикле в работу, будет равна:

к. п. д. принимает следующий вид:

Одинаковые с циклом Карно можно получить результаты и для циклов, состоящих из двух изотермических и двух изобарных или политропических процессов. Одним из возможных решений поставленной задачи является введение в установку некоторых добавочных тел, называемых регенераторами, которые воспринимали бы от газа теплоту в процессе и возвращали бы ее газу в процессе С А. Подобные циклы называются регенеративными, и являются лишь мыслимыми циклами, но на практике к таким циклам можно приблизиться; циклы эти широко используются в современных паровых установках.

3. Найти коэффициент полезного действия двигателя внутреннего сгорания.

Решение. На рисунке 63 изображена теоретическая индикаторная диаграмма двигателя внутреннего сгорания, в котором горение топлива осуществляется при постоянном объеме. На рисунке 63 показано:

5-1-процесс всасывания в цилиндр горючей смеси;

1-2-адиабатное сжатие горючей смеси;

2—3 процесс горения смеси, воспламененной особым запальником;

3—4 — адиабатное расширение продуктов горения;

4—1— процесс выхлопа газов в атмосферу. Рассматриваемый цикл состоит из двух адиабат и двух изохор.

Параметрами цикла являются степень сжатия степень повышения давления

Объем в точках 1, 2, 3, 4 определим через объем называемый рабочим объемом.

Рис. 63.

Рис. 64.

Из рисунка 64 видно, что степень сжатия

Отсюда

Подставив (2) в (1), получим:

Давление и температура в точках 2, 5, 4 определяются при рассмотрении процессов 1—2, 2—3 и 5—4. В процессе 1—2 имеем:

В процессе 2—3:

В процессе 3—4

Определим количество полученной и отданной теплоты при совершении цикла:

Подставив значения из уравнений (5), (7) и (9) в (10) и (11), получим:

После всех этих вычислений коэффициент полезного действия двигателя внутреннего сгорания будет иметь значение:

или окончательно:

Уравнение (14) показывает, что к. п. д. цикла с изохорным подводом теплоты зависит от степени сжатия и от отношения теплоемкостеи

4. Найти к. п. д. двигателя внутреннего сгорания с изобарным подводом теплоты. Диаграмма этого цикла приведена на рисунке 64. Расчеты нужно проводить так же, как и в задаче 3.

Параметры цикла: степень сжатия и степень предварительного расширения Термический к. п. д. будет равен:

5. 5 кг окиси углерода расширяются при постоянном давлении, совершая работу, равную затем газ охлаждается при постоянном объеме до прежней температуры, после чего он сжимается изотермически до прежнего объема. Требуется:

а) изобразить цикл на диаграмме графически;

б) определить приращение температуры, когда окись углерода расширялась при если начальная температура была

в) определить общее количество теплоты, которое получила система при а также количество теплоты, которое пошло на полезную механическую работу.

Ответ: общее количество теплоты теплота, которую система отдала теплоприемнику: кал. Таким образом, полезная теплота, которая превращена в механическую работу:

6. Зная мольные теплоемкости двухатомного газа вычислить удельные теплоемкости кислорода и азота. -нять газовую постоянную кал.

Ответ:

7. Определить удельную теплоемкость смеси 2 грамм с 3 граммами

Ответ:

8. Определить отношение для смеси, имеющей 3 г аргона и 5 г кислорода.

Ответ: .

9. 200 г азота нагреваются от 20 до Какое количество теплоты поглощается при этом процессе? Каков прирост внутренней энергии газа? Какую внешнюю работу совершает газ?

Ответ: кал, кал и джоуля.

10. В системе координат графически построена политропа Определить показатель политропы по этой кривой.

Ответ:

11. Построить на диаграмме: изотерму, политропу, адиабату, изохору и изобару.

Показать, что политропа находится на графике в пределах между изотермой и адиабатой.

12. Найти механический эквивалент теплоты, зная, что для воздуха

Ответ:

13. Найти работу при адиабатном расширении системы.

Ответ:

14. Вычислить для газа Ван-дер-Ваальса.

Ответ:

15. Для аргона отношение

Определить давление, получающееся после адиабатного расширения этого газа от объема до объема если начальное давление атм.

Ответ: атм.

16. Показать, что к. п. д. цикла Карно, осуществленного системой, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара,

17. Рассмотрев цикл Карно для системы, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара, получить зависимость давления насыщенного пара от температуры.

Ответ: где — теплота испарения.

18. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости, найти зависимость поверхностного натяжения а от температуры.

Ответ: , где теплота, необходимая для образования единицы поверхности пленки.

19. За основные переменные, характеризующие состояние тела, можно принять его температуру и энтропию. Изобразить графически цикл Карно на диаграмме, откладывая по оси абсцисс энтропию, а по оси ординат температуру. Вычислить при помощи этого графика к. п. д. цикла.

Ответ:

20. Найти изменение энтропии идеального газа для цикла, состоящего из двух изотерм и двух изохор.

Ответ:

21. Показать, что скорость звука в идеальном газе есть функция одной только температуры.

22. Привести пример процесса, при котором вся теплота, заимствованная из теплоотдатчика, превращается в работу.

23. Найти изменение энтропии водорода, изотермически расширявшегося от объема до объема при температуре 20°.

Ответ:

24. Найти количество теплоты, которое отдает система окружающей среде при политропическом процессе.

Ответ: где показатель политропы.

25. Найти работу изотермического расширения газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса.

Ответ:

26. Пользуясь уравнением Клапейрона-Клаузиуса, вычислить теплоту испарения воды на основании следующих опытных данных:

1. Давления паров воды при температурах, близких к температуре кипения, имеют следующие значения:

2. Объем, занимаемый одним килограммом водяного пара при температуре кипения равняется:

а объем такого же количества жидкой воды равен:

Ответ:

27. Определить длину волны, соответствующую максимальной интенсивности в спектре абсолютно черного тела, температура которого (Постоянная в законе Вина равна )

28. Найти разность энтропий воды, взятой при 0° и 100°С (давление ), считая теплоемкость воды постоянной и равной единице.

Ответ:

29. Найти разность энтропии воды и льда при Теплота плавления

Ответ:

30. Показать, что уменьшение энергии (адиабатное изменение) с возрастанием объема при постоянной энтропии измеряется давлением.

31. Показать, что увеличение энергии при возрастании энтропии на одну единицу при постоянном объеме измеряется абсолютной температурой.

32. Показать, что свободная энергия и термодинамический потенциал идеального газа, у которого равны

33. С помощью уравнений Нернста найти изменение свободной энергии при превращении переохлажденной воды в лед (при Теплота плавления при 0° составляет

Ответ: кал.

34. Показать, что

где свободная энергия.

35. Показать, что где термодинамический потенциал.