13. Связь отношения теплоемкостей со скоростью звука

Скорость распространения звука в упругой среде определяется формулой:

где плотность среды.

Известно, что плотность среды обратно пропорциональна удельному объему:

Поэтому, найдя дифференциал от получим:

Подставляя (10,4) в (10,2), будем иметь:

Так как распространение звука в упругой среде является адиабатным процессом, то, используя определения и

и подставляя их в уравнение (10,5), можно получить выражение для скорости звука:

Определяя из (10,1) и подставляя в (10,6), получим связь скорости звука с отношением

Эта формула позволяет определять отношение теплоемкостей если из опыта известны скорость звука и изотермический коэффициент сжимаемости. В этом направлении ведутся успешные научные исследования.

ЗАДАЧИ

1. Пусть стержень длиной I закручивается некоторым моментом на угол Нужно доказать, что отношение крутильных жесткостей стержня при адиабатном и изотермическом процессах равно:

Доказательство. Количественное выражение первого начала термодинамики для этого случая по (4,6) имеет вид:

Уравнение состояния:

а внутренняя энергия запишется так: Найдем полный дифференциал:

Подставляя в (4,6), получим:

Заменяя из уравнения (5,2), найдем:

При получаем:

а при

Подставляя (5) в (3), найдем:

При таких условиях уравнение адиабаты с независимыми переменными как нетрудно убедиться, принимает следующий вид:

где

Подставляя полный дифференциал температуры

в выражение (8), мы получим уравнение адиабаты с независимыми переменными

Далее, из уравнения (10) находим:

Из уравнения (9) при определим:

Если подставить (12) в (11), то получится:

где теплоемкости при постоянном моменте и постоянном угле закручивания.

Из уравнения (6) следует, что так как незакрученный стержень при нагревании только расширяется, а угол закручивания не меняется; значит, поэтому и

2. Предположим, что при намагничивании магнетика объем и давление остаются постоянными. Требуется доказать, что отношение намагниченностеи при адиабатном и изотермическом процессах равно:

Доказательство. Уравнение состояния магнетика при напишется следующим образом:

Принимая во внимание, что

выражение первого начала термодинамики (5,1) примет вид:

При подстановке

предыдущее выражение принимает следующий вид:

Заменяя в уравнении (4) его значением из (5,2), получим:

Если то из уравнения (5) следует, что

При уравнение (5) примет вид:

Подставляя из (6) в уравнение первого начала термодинамики, получим:

Рассматривая адиабатный процесс из (8), с учетом (7), получим уравнение, аналогичное уравнению (8) из предыдущей задачи:

где

теплоемкость при неизменной напряженности — теплоемкость при постоянном магнитном моменте Заметим, что уравнение (9) есть уравнение адиабаты в независимых переменных

Аналогичное уравнение адиабаты в переменных запишется следующим образом:

Адиабатный и изотермический коэффициенты связаны между собой соотношением:

3. Найти разность теплоемкостей и уравнение адиабаты для идеального парамагнетика.

Решение. Для идеального парамагнетика, строго подчиняющегося закону Кюри, уравнение состояния будет:

а внутренняя энергия его есть функция только температуры:

Отсюда следует, что

Подставляя (1) и (2) в уравнение (7) второй задачи, получим:

Уравнение адиабаты для идеального парамагнетика определим из уравнения (12) второй задачи. Найдем производную из (1):

Подставляя (4) в уравнение (12) второй задачи, получим:

или

Уравнение (5) есть уравнение адиабаты для идеального парамагнетика.

4. Найти скорость звука в газовой среде, подчиняющейся уравнению Клапейрона — Менделеева.

Решение. Из уравнения (10,7) следует, что скорость звука равна:

Коэффициент же изотермической сжимаемости определим из уравнения

Подставляя (2) в (1), получаем скорость звука в газе, подчиняющемся уравнению состояния Клапейрона — Менделеева:

где молекулярный вес.