10. Теорема Карно

Исходя из второго закона термодинамики, можно доказать следующую теорему: коэффициенты полезного действия всех обратимых машин, работающих по циклу Карно с одним и тем же теплоотдатчиком и теплоприемником, равны между собой и не зависят от рабочего вещества и конструкции двигателя, совершающего

цикл; коэффициент полезного действия необратимой машины меньше коэффициента полезного действия обратимой машины.

Предположим, что имеются две обратимые машины, I и II, работающие по циклу Карно с одним и тем же теплоотдатчиком и теплоприемником. Пусть машины берут от теплоотдатчика количество теплоты а отдают теплоприемнику: машина Тогда коэффициенты полезного действия запишутся так:

Коэффициенты будут различны, если также будут различными. Например, если то При этом машина II отдает теплоприемнику меньше теплоты и совершает большую положительную работу. Докажем, что этого не может быть. Поскольку машины по условию обратимы, мы можем заставить машину II работать в прямом направлении, т. е. термодинамическая система будет изменять свое состояние, идя по направлению часовой стрелки 1—2—3—4—1 (рис. 8). Машина I пусть совершает цикл в обратном направлении, т. е. термодинамическая система изменяет свое состояние против часовой стрелки 1—4—3—2—1.

1. При совершении цикла машина II получает от теплоотдатчика количество теплоты а отдает теплоприемнику в результате совершения цикла получается положительная работа, выражающаяся площадью цикла. Работа эквивалентна так как при возвращении системы в первоначальное состояние ее внутренняя энергия становится такой же, как и в начале цикла.

2. Когда машина I совершает обратный цикл Карно, она получает количество теплоты от теплоотдатчика с температурой при этом совершается положительная работа. Когда машина замыкает цикл по изотерме работа совершается внешними телами, и теплоприемник с температурой получает количество теплоты Машина II, совершая прямой цикл, производит работу, эквивалентную теплоте часть этой работы машина I превращает в теплоту когда замыкает цикл по изотерме так что в результате сопряженного цикла получается избыток работы, эквивалентный количеству теплоты:

Поскольку мы предположили, что то в результате сопряжения цикла получилась положительная работа, равная

Посмотрим, что же произошло в результате такого сопряженного цикла.

1. Внутренняя энергия в обеих машинах, когда они совершили цикл, осталась неизменной.

2. Термостат с температурой отдал количество теплоты и получил то же количество теплоты. Следовательно, в этом термостате изменений не произошло.

3. Термостат с температурой отдал количество теплоты а получил Следовательно, в результате сопряженного цикла термостат с температурой потерял теплоту которая пошла на совершение положительной работы, равной этой разности теплот. Значит, мы отняли теплоту у источника с более низкой температурой и всю ее превратили в работу, что противоречит второму закону термодинамики. Поэтому наше предположение, что неверно. Необходимо, чтобы или или

Но при оказывается, что Докажем, что этого также не может быть. Доказательство ведется так же, как и прежде, только вместо машины II в прямом направлении работает машина I, а в обратном — машина II. Этим путем мы докажем, что не может быть больше Отсюда следует, что для обратимых машин

Теорема Карно позволяет определить коэффициент полезного действия любой обратимой машины, если мы будем знать коэффициент полезного действия хотя бы одной обратимой машины.

Изучая обратимый цикл Карно, когда рабочим веществом является идеальный газ, мы нашли, что коэффициент полезного действия этого цикла

Уравнение (12,3) определяет коэффициент полезного действия обратимого цикла Карно для любой обратимой машины. Оно, как мы видели выше, является следствием второго закона термодинамики.

Докажем, что коэффициент полезного действия необратимой машины, работающей по циклу Карно, будет меньше, чем коэффициент полезного действия обратимой машины. Для этого рассмотрим еще раз две машины, работающие по циклу Карно. Пусть одна из них необратима. Предположим, что обе машины получают от теплоотдатчика с температурой количество теплоты Обратимая машина отдает теплоприемнику теплоту превращает в работу. Однако выше мы доказали, что при необратимом процессе работа получается меньше, чем при обратимом процессе Следовательно, необратимая машина отдает теплоприемнику больше теплоты, чем обратимая машина. Если обратимая

машина отдает теплоприемнику теплоту то необратимая машина отдает:

где К — положительная величина.

Коэффициент полезного действия необратимой машины:

а коэффициент полезного действия обратимой машины:

Сравнивая эти коэффициенты, находим:

что и требовалось доказать.