4. Закон Стефана — Больцмана

На основании данных, полученных опытным путем, Стефан в 1879 г. установил, что плотность энергии излучения абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры: . С другой стороны, в 1884 г. Больцман получил этот закон теоретическим путем, исходя из второго закона термодинамики и допуская существование светового давления.

Немного позже, в 1893 г., Б. Б. Голицын в диссертации на соискание ученой степени магистра физики, рассматривая состояние учения о лучистой энергии, вывел теоретически закон Стефана.

Чтобы уяснить себе сущность этого закона, представим себе абсолютно черное тело, которое соединено с цилиндром, снабженным поршнем (рис. 30). Соприкасающиеся поверхности поршня и цилиндра абсолютно зеркальны. В цилиндр С поступает лучистая энергия от тела А. Допустим, что в условии равновесия объемная плотность лучистой энергии есть и. Если переместить поршень, то объем цилиндра изменится на Тогда плотность лучистой энергии в цилиндре уменьшится, и тело А будет излучать энергию до тех пор, пока плотность не достигнет прежнего значения и.

Рис. 30.

При излучении энергии телом А оно теряет количество теплоты На основании первого закона термодинамики запишем, что

где — плотность лучистой энергии в единице объема, V — объем цилиндра, световое давление.

В электромагнитной теории света выводится, что световое давление

Подставляя значение светового давления в формулу математического выражения первого начала, получаем:

Если написать второй закон термодинамики для обратимого процесса, то:

Подставив из уравнения (32,1), получим изменение энтропии излучения:

Из условия полного дифференциала следует:

А так как плотность лучистой энергии есть функция только температуры, то при температуру также следует считать постоянной.

Из уравнения (32,4) получим:

или

Интегрируя последнее равенство и переходя от логарифмов к числам, получим:

где а — постоянная величина, абсолютная температура, Уравнение (32,6) и представляет собой закон Стефана — Больцмана.

Найдем энтропию излучения и связь плотности лучистой энергии с объемом при адиабатном процессе. Из уравнения (32,6) найдем дифференциал от и:

Подставляя уравнения (32,6) и (32,7) в уравнение (32,3), будем иметь:

Отсюда легко получить энтропию излучения:

Если лучистую энергию в цилиндре отделить от абсолютно черного тела зеркальной перегородкой, то изменение объема в цилиндре будет адиабатным процессом.

При обратимом процессе и уравнение (32,3) принимает следующий вид:

или

Интегрируя уравнение (33), получим:

Если здесь заменить и через световое давление то получим уравнение:

Подставляя уравнение (32,6) в уравнение (33,1), получим: