4. Закон Стефана — Больцмана
На основании данных, полученных опытным путем, Стефан в 1879 г. установил, что плотность энергии излучения абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры:
. С другой стороны, в 1884 г. Больцман получил этот закон теоретическим путем, исходя из второго закона термодинамики и допуская существование светового давления.
Немного позже, в 1893 г., Б. Б. Голицын в диссертации на соискание ученой степени магистра физики, рассматривая состояние учения о лучистой энергии, вывел теоретически закон Стефана.
Чтобы уяснить себе сущность этого закона, представим себе абсолютно черное тело, которое соединено с цилиндром, снабженным поршнем (рис. 30). Соприкасающиеся поверхности поршня и цилиндра абсолютно зеркальны. В цилиндр С поступает лучистая энергия от тела А. Допустим, что в условии равновесия объемная плотность лучистой энергии есть и. Если переместить поршень, то объем цилиндра изменится на
Тогда плотность лучистой энергии в цилиндре уменьшится, и тело А будет излучать энергию до тех пор, пока плотность не достигнет прежнего значения и.
Рис. 30.
При излучении энергии телом А оно теряет количество теплоты
На основании первого закона термодинамики запишем, что
где
— плотность лучистой энергии в единице объема, V — объем цилиндра,
световое давление.
В электромагнитной теории света выводится, что световое давление
Подставляя значение светового давления в формулу математического выражения первого начала, получаем:
Если написать второй закон термодинамики для обратимого процесса, то:
Подставив
из уравнения (32,1), получим изменение энтропии излучения:
Из условия полного дифференциала
следует:
А так как плотность лучистой энергии есть функция только температуры, то при
температуру также следует считать постоянной.
Из уравнения (32,4) получим:
или
Интегрируя последнее равенство и переходя от логарифмов к числам, получим:
где а — постоянная величина,
абсолютная температура, Уравнение (32,6) и представляет собой закон Стефана — Больцмана.
Найдем энтропию излучения и связь плотности лучистой энергии с объемом при адиабатном процессе. Из уравнения (32,6) найдем дифференциал от и:
Подставляя уравнения (32,6) и (32,7) в уравнение (32,3), будем иметь:
Отсюда легко получить энтропию излучения:
Если лучистую энергию в цилиндре отделить от абсолютно черного тела зеркальной перегородкой, то изменение объема в цилиндре будет адиабатным процессом.
При обратимом процессе
и уравнение (32,3) принимает следующий вид:
или
Интегрируя уравнение (33), получим:
Если здесь заменить и через световое давление
то получим уравнение:
Подставляя уравнение (32,6) в уравнение (33,1), получим: