4. Энтропия как функция Т и x
Дифференциал функции 
равен
Задача состоит в том, чтобы найти производные 
Из уравнения (15,10) имеем:
Для определения частной производной 
используем второе начало термодинамики для обратимого процесса:
где 
теплоемкость при постоянной обобщенной координате. Отсюда:
Подставив 
в уравнение (21,6), получим:
Принимая во внимание, что
и подставляя вместо 
его значение, получим:
Так как в уравнении (21,10) внутренняя энергия есть функция от 
их, то ее полный дифференциал
Сравнивая коэффициенты при 
получаем соотношения:
Применим эти соотношения к конкретным системам, рассмотренным выше.
1. При 
уравнения (21,8), (21,9), (22) и (22,1) запишутся следующим образом:
Как видно из (22,5), второе начало термодинамики позволяет определить частную производную 
в то время как с помощью первого начала определить ее не удается.
Можно показать, что производная 
для идеального газа равна нулю. Действительно, определив из уравнения Клапейрона — Менделеева давление 
и взяв от давления производную по температуре при постоянном объеме, получим:
Подставляя полученное равенство (22,6) в (22,5), находим, что
2. При 
уравнения (21,8), (21,9), (22), и (22,1) запишутся так:
