7. Уравнение Майера для идеального газа

Для идеального газа, у которого или остаются в силе уравнения:

Если подставить эти равенства в (6,5) и (6,6), то получим уравнение Майера, а также количественное выражение первого закона термодинамики для идеального газа:

где универсальная газовая постоянная, мольные темплоемкости соответственно при постоянных

Уравнение (6, 10) является справедливым как для газа, у которого так и для газа, у которого Соотношение (6, 10) представляет собой новый закон, относящийся к области идеальных газов. Этот закон будет зависеть от уравнения Клапейрона — Менделеева и будет справедлив постольку, поскольку справедливо это уравнение.

Из уравнения (6, 10) следует, что так как

Пользуясь уравнением Майера, можно доказать, что отношение для одноатомного и двухатомного идеального газа соответственно равно 1,66 и 1,4.

Молекулярно-кинетическая теория, которая вводит определенные гипотезы о структуре газа и природе теплоты, дает уравнение состояния идеального газа:

где V — объем 1 грамм-молекулы, число Авогадро, масса одной молекулы, средняя квадратичная скорость молекул газа.

Уравнение (7,1) можно написать еще и так:

При этом величина представляет собой среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы. Подставляя в уравнение (7,2), получим:

Примем, что уравнение Клапейрона — Менделеева и уравнение состояния, полученное молекулярно-кинетической теорией, тождественны. Тогда из уравнения (7,3) найдем:

или

где — константа Больцмана, а энергия одной молекулы, у которой число степеней свободы

Если отнести внутреннюю энергию к одному молю, то получим уравнение:

где число степеней свободы молекулы газа.

Из уравнения (7,5) вытекает, что молекулярно-кинетическая теория, так же как и термодинамика, дает для идеального газа энергию как функцию только температуры . В отличие от термодинамического метода, молекулярно-кинетическая теория дает выражение энергии идеального газа в явном виде: энергия пропорциональна температуре в первой степени.

Взяв производную от внутренней энергии по температуре, получим:

Из уравнения (7,6) видно, что не зависит от температуры. Следовательно, уравнение (7,5) выражает энергию идеального газа, т. е. такого газа, который подчиняется уравнению и имеет Подставляя теплоемкость из (7,6) в уравнение Майера (6, 10), находим:

Как видно, теплоемкость Стакже не зависит от температуры. Отношение будет равно:

А так как для одноатомного газа то отношение

Для двухатомного газа и

что и требовалось доказать.

Для сравнения значений (7,9) и (7,10) приведем таблицу отношения некоторых газов, у которых измерены мольные теплоемкости при постоянном давлении. Мольные теплоемкости при постоянном объеме находятся из уравнения Майера. Газовую постоянную принимают равной .

Из таблицы следует, что теоретические значения для одноатомного и двухатомного газа хорошо согласуются с данными, полученными опытным путем.

Таблица 1 (см. скан) Сравнение теоретических значений с экспериментальными данными