Глава V. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения движения в обобщенных координатах, известные как уравнения Лагранжа второго рода, можно получить из общего уравнения динамики или из принципа стационарного действия Гамильтона. Мы выведем их из принципа Гамильтона. Этот принцип, как известно, выражает условие стационарности интеграла, взятого от функции Лагранжа т. е.

Так как варьирование здесь является изохронным принимается постоянным), то операции интегрирования и варьирования коммутативны и, следовательно,

и

Вариация функции Лагранжа при постоянном равна

Пользуясь тем, что при изохронном варьировании операции дифференцирования и варьирования также коммутативны, т. е.

можем написать

Подставляя вариацию в формулу (5.1) и разбивая интеграл на два, получаем

Взяв второй интеграл по частям и приняв во внимание, что вариации обобщенных координат на концах интервала интегрирования равны нулю, т. е.

получим

Таким образом, будем иметь

или

Отсюда в силу независимости вариаций обобщенных координат получаем систему дифференциальных уравнений:

Это и есть уравнения Лагранжа второго рода.

Число уравнений Лагранжа соответствует числу независимых обобщенных координат, определяющих конфигурацию системы, что в случае голономных систем соответствует числу независимых возможных перемещений, или, что то же, числу степеней свободы.

Уравнения Лагранжа второго рода можно записать в иной форме, если вспомнить физический смысл функции Лагранжа, как разности между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V. Имеем

Следовательно,

и уравнения Лагранжа принимают вид

где

есть обобщенная сила формулы 2.5 и 2.7).

Уравнения Лагранжа представляют совокупную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с независимыми функциями Общее решение такой системы уравнений будет зависеть от произвольных постоянных

Следовательно, интегралы уравнений (5.2) будут иметь следующий вид:

Для нахождения произвольных постоянных необходимо знать состояние системы в какой-либо момент времени Это означает, что для момента должны быть заданы значения обобщенных координат и обобщенных скоростей Следовательно, должны быть заданы уравнений

Из этих уравнений можно определить постоянные

Подставляя теперь найденные значения в систему уравнений (5.4), получаем обобщенные координаты в виде функций от времени и начальных условий. Движение системы тем самым будет определено.

Достоинство уравнений Лагранжа второго рода состоит в том, что они не зависят от выбора системы координат и могут быть написаны для любой системы криволинейных координат.

В качестве примера получим с помощью уравнений Лагранжа уравнения движения материальной точки в полярных, цилиндрических и сферических координатах.

Уравнения движения точки в полярных координатах. Составим уравнения Лагранжа второго рода для плоского движения точки в полярных координатах. Принимая в качестве обобщенных координат полярные координаты напишем кинетическую энергию точки:

Пусть потенциальная энергия точки есть Тогда функция Лагранжа будет равна

Составляем уравнения Лагранжа

Вычисляя производные

и подставляя их в уравнения, получаем

Выражения (5.5) есть уравнения движения точки в полярных координатах.

Уравнения движения точки в цилиндрических координатах. В качестве обобщенных координат возьмем цилиндрические координаты (рис. 14). Декартовы координаты связаны с цилиндрическими координатами следующими соотношениями:

Рис. 14

Рис. 15

Отсюда находим

Определим квадрат скорости

и напишем выражение для кинетической энергии в цилиндрических координатах:

Следовательно, функция Лагранжа будет равна

где — потенциальная энергия точки. Определив производные и получим уравнения Лагранжа в следующем виде:

Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

Уравнения движения точки в сферических координатах. Сферические координаты в (рис. 15) связаны с декартовыми координатами соотношениями:

Найдем квадрат скорости точки в сферических координата х:

Если через обозначить потенциальную энергию точки, то функция Лагранжа будет равна

Определяя производные и подставляя их в уравнения

где получаем уравнения движения точки в сферических координатах

Рассмотрим теперь движение точки в системе координат вращающейся с постоянной угловой скоростью соотносительно инерциальной системы координат xyz. Ось вращения пусть совпадает с осью Выбрав оси координат так, как показано на рис. 16, и перейдя к цилиндрическим координатам, напишем кинетическую энергию точки в обеих системах координат. Для системы будем иметь:

Рис. 16

а для системы :

Так как формулы перехода от одной системы координат к другой имеют вид:

то

Следовательно,

Уравнения Лагранжа запишем в форме (5.3). Для инерциальной системы координат имеем:

Подставляя в эти уравнения Т из (5.6) и пользуясь формулами перехода от одной системы координат к другой, получаем уравнения движения точки во вращающейся системе координат :

Эти уравнения показывают, что движение точки во вращающейся системе координат происходит так, как оно происходило бы во невращающейся

системе, если бы к обобщенным силам были добавлены некоторые дополнительные силы.

Рассмотрим несколько задач.

Задача Сплошной шероховатый цилиндр массой и радиусом катится без скольжения по внутренней поверхности тонкостенного цилиндра массой М и радиусом который может вращаться вокруг своей горизонтальной оси (рис. 17). Моменты инерции цилиндров относительно их осей соответственно равны . Составить уравнение движения малого цилиндра.

Система имеет две степени свободы, так как ее положение определяется двумя углами: , где — угол поворота малого цилиндра. Обозначим через угловые скорости соответственно большого и малого цилиндров и напишем потенциальную и кинетическую энергии системы:

Функция Лагранжа будет равна

Рассмотрим скорость точки касания обоих цилиндров. Вследствие отсутствия скольжения между цилиндрами будем иметь

Так как угловая скорость , то

Рис. 17

Подставляя в функцию Лагранжа найденное значение и заменяя на , получаем

Для составления уравнений Лагранжа вычисляем производные:

Уравнение Лагранжа, составленное для координаты 6, дает сразу первый интеграл:

следовательно,

Определяя отсюда и подставляя в выражение для производной , получаем:

(аддитивная постоянная, как несущественная, при этом отброшена).

Таким образом, уравнение Лагранжа

принимает вид:

где

Сравнивая полученное уравнение (5,7) с уравнением колебаний математического маятника

видим, что движение малого цилиндра подобно колебанию математического маятника длиной

Точное решение уравнения (5.7) выражается в эллиптических функциях.

Если масса М большого цилиндра во много раз больше массы малого цилиндра, т. е. , то

Задача 2. Определить период малых колебаний маятника, состоящего из шарика массой укрепленного на конце невесомого стержня длиной Точка А подвеса стержня находится в центре однородного диска массой который может катиться без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 18). Движение маятника происходит в вертикальной плоскости.

Система имеет две степени свободы, так как ее положение определяется двумя обобщенными координатами: абсциссой центра диска и углом отклонения маятника от вертикали. Напишем координаты шарика, который будем считать материальной точкой:

Рис. 18

Дифференцируя, находим

Кинетическая энергия шарика

а кинетическая энергия диска

где — момент инерции диска относительно его центра — мгновенная угловая скорость диска.

Таким образом, кинетическая энергия системы равна

Так как потенциальная энергия системы равна

то функция Лагранжа будет иметь следующий вид:

Составляем уравнения Лагранжа, для чего вычисляем производные:

Из уравнения Лагранжа, составленного для координаты ,

сразу находим первый интеграл уравнений движения:

Если в начальный момент система находилась в покое, а маятник был отклонен от вертикали на угол то Отсюда получаем, что , следовательно,

Уравнение Лагранжа, составленное для координаты

после подстановки в него вычисленных выше произ» водных, принимает вид

При малых колебаниях уравнения (5.8), (5.9) упрощаются:

Дифференцируя уравнение (5.10) и подставляя найденное значение в уравнение (5.11), получаем дифференциальное уравнение малых колебаний маятника:

Период малых колебаний маятника будет равен

Задача 3 (задача Ампера). Определить относительное движение шарика М массой помещенного в прямую трубку которая вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси составляя с ней неизменный угол а (рис. 19). Начальная скорость шарика равна нулю, а начальное расстояние его от точки О равно Трением шарика о стенки трубки пренебречь.

Рис. 19

Выберем две системы координат: неподвижную систему и подвижную систему жестко связав последнюю с трубкой и совместив ось с неподвижной осью

Вводя цилиндрические координаты напишем функцию Лагранжа, Так как движение происходит в поле силы тяжести, то потенциальная энергия равна , следовательно,

Обозначая расстояние через получаем

и

Подставляя найденные значения и в функцию Лагранжа, находим

Отсюда

Составляя уравнение Лагранжа

после упрощений получаем следующее дифференциальное уравнение:

где

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

где постоянные, подлежащие определению. Так как в начальный момент то

Подставляя найденное значение для в выражение для и вводя гиперболическую функцию

напишем общий интеграл в форме

Это и есть закон относительного движения шарика М вдоль трубки .

Исследуем полученную формулу.

Если начальное расстояние , то величина сохраняет постоянное значение, т. е. шарик М находится в относительном покое:

Если , то расстояние будет возрастающей функцией времени т. е. шарик будет двигаться в трубке, удаляясь от точки О.

Если

т. е. будет убывающей функцией времени и, следовательно, шарик М будет двигаться вдоль трубки, приближаясь к точке О.