ПРЕДИСЛОВИЕ

Линейные дифференциальные уравнения математической физики представляют собой одну из самых обширных ветвей анализа; им посвящено большое число монографий и учебников и почти не поддающееся учету количество журнальных статей. В то же время это и весьма разветвленная часть анализа, смыкающаяся со многими другими частями того же анализа и математики вообще. В арсенал средств современной математической физики входят топология и специальные функции, функциональный анализ и классическая теория функций комплексной переменной, теория функций действительной переменной и методы приближенных вычислений; по своей проблематике математическая физика теснейшим образом связана как с самыми абстрактными разделами современной математики, так и с наиболее конкретными приложениями к задачам физики и техники.

Естественно, что столь разнородный материал создал и известную разнородность изложения: наряду с простыми вещами, о которых сказано в главах I—IV, дан и менее элементарный материал, содержащийся, например, в главах V и IX.

Построение данного выпуска СМБ в целом более или менее соответствует обычному построению курсов математической физики. В главе I даны общие свойства уравнений математической физики, приведение уравнений к каноническому виду, классификация уравнений математической физики по типам. Сформулирована задача Коши, даны общие указания о постановке других краевых задач.

В главе II указаны основные задачи, приводящие к гиперболическим уравнениям, дано решение основных задач для уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Подробно изложены задачи, связанные с интегрированием волнового уравнения. Обстоятельно изложен метод Фурье для уравнений с двумя и со многими независимыми переменными. Приведены важнейшие сведения об уравнениях и системах уравнений гиперболического типа более общего вида.

В главах III и IV изложены элементарные сведения об уравнениях Лапласа, Пуассона, Гельмгольца и их решениях; много внимания уделено результатам, получаемым методом разделения переменных. Более общим уравнениям (и системам) эллиптического типа посвящена глава V; в этой же главе рассмотрены и уравнения эллиптического типа с малым параметром при старших производных.

В главе VI рассмотрены параболические уравнения и системы. Первые пять параграфов этой главы содержат элементарные сведения об уравнении теплопроводности; последующие параграфы главы VI посвящены общей теории и менее элементарны.

Последние главы настоящего выпуска СМБ выходят за пределы обычных курсов математической физики. Главы VII и VIII близки между собой по теме: в главе VII рассматриваются вырождающиеся уравнения гиперболического и эллиптического типов; глава VIII относится к уравнениям смешанного эллиптико-гиперболического типа, играющего большую роль, например, в задачах газовой динамики.

Глава IX посвящена интересной для многочисленных приложений задаче дифракции, которая подробно рассмотрена для волнового уравнения, уравнений Максвелла и динамических уравнений теории упругости. В этой же главе рассмотрены и некоторые менее простые вопросы теории распространения волн.

В данном выпуске СМБ не отражены работы последних лет, относящиеся к исследованию самых общих систем уравнений с частными производными; как нам кажется, теория таких систем еще недостаточно устоялась. Не затронуты также многочисленные и важные исследования спектров эллиптических дифференциальных операторов, например оператора Шредингера.

Главы I, III, IV и §§ 1—5 главы VI написал П. М. Риз, главы II и IX — В. М. Бабич, §§ 1-3 главы V - C. Г. Михлин, §§ 4—5 главы V - Г. И. Натансон, §§ 6—10 главы VI - Л. Н. Слободецкий, главу VII-М. М. Смирнов, главу VIII— М. Б. Капилевич.

С. Михлин