§ 9. Приближенные и асимптотические методы в задачах дифракции

1. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов [2], [3], [6], [7], [191, [23], [74], [90], [96], [123] -[127].

а) Волновое уравнение с переменным коэффициентом. Пусть волновой процесс описывается волновым уравнением с переменным коэффициентом

Будем считать, что

где

Мы будем при этом считать, что функцией можно пренебречь по сравнению с Так будет, например, если

или

В последнем случае каждое дифференцирование увеличивает «силу разрыва» решения при В отношении функции будем считать, что

где через обозначена производная по любой переменной, знак заменяет слова «имеет тот же порядок, что Если подставить (9.162) в (9.161), то нетрудно получить, что функция должна удовлетворять уравнению эйконала

Поверхность называется волновым фронтом. Зная положение волнового фронта в момент времени нетрудно построить волновой фронт в произвольный момент времени. Для этого надо из точек поверхности волнового фронта перпендикулярно к ней провести лучи (т. е. экстремали функционала Ферма и продолжить до точек таких, что

Геометрическое место точек и даст положение волнового фронта в момент времени Характеризуя двумя параметрами а точку на луче (т. е. на экстремали) величиной интеграла (9.166), мы придем к системе криволинейных координат

Пусть X - радиус-вектор точки Переход от координат к можно кратко записать в виде тогда

Величина называется интенсивностью волнового фронта, характеризует расхождение лучей.

Физический смысл формулы (9.167) заключается в том, что в первом приближении энергия распространяется вдоль лучей.

Чтобы найти функции в случае точечного источника, надо потребовать, чтобы в пределе в малой окрестности источника первый член формулы (9.162) переходил в первый член в соответствующей формуле для волнового уравнения с постоянным коэффициентом. (В этом последнем случае формулы для точечных источников известны; см. § 2).

При отражении и преломлении волн вида (9.162) отраженные и преломленные волны нужно искать тоже в виде (9.162), на преломляющей или отражающей границе следует полагать тпад хпред хотр и начальные значения для соответствующих функций находить из краевых условий.

В случае коротковолновой асимптотики для функции Грина (см. § 4), при наличии внешности выпуклой достаточно гладкой области, лучевой метод недавно был строго оправдан [6], [19]. Работа [19] интересна еще тем, что там получена (и строго оправдана) коротковолновая асимптотика в области так называемой полутени.

б) Теория упругости [2], [3], [7], [8], [23], [25], [35], [47], [86]. Если искать решение уравнений динамики упругого тела в виде

считая функциями х, у, z, то аналогично предыдущему мы придем к двум «лучевым решениям»: продольная волна:

поперечная волна:

Вектор вращается вдоль касательной к лучу, при этом, если угол между бинормалью к лучу и вектором то

радиус кручения, - дифференциал длины дуги).

в) Уравнения Максвелла [126]. Рассмотрим только случай изотропной непоглощающей среды Ищем и в виде

Подставляя (9.172) в уравнения Максвелла (§ 1, п. 1), получим:

О нахождении функций как здесь, так и в случае уравнений теории упругости можно повторить все что было сказано в случае волнового уравнения.

В случае уравнений Максвелла векторы вращаются вокруг луча, при этом, если угол между бинормалью к лучу и вектором то

-радиус кручения, дифференциал дуги луча).

2. Метод Френеля [45], [75], [104], [134]. Метод Френеля изложим для того случая, когда волновой процесс описывается уравнением Гельмгольца

на примере дифракции произвольной волны на непрозрачном экране, имеющем отверстие произвольной формы. Пусть на экран (рис. 13) слева падает волна и мы хотим найти функцию, характеризующую волновое поле в точке находящейся справа от экрана.

Рис. 13.

Проведем через отверстие в экране произвольную поверхность Поле в точке приближенно найдется как поле точечных источников колебаний, расположенных на

поверхности с плотностью, пропорциональной падающей волне, а именно:

через обозначена проекция элемента поверхности на касательную к волновому фронту, через обозначена функция, характеризующая падающую волну (точнее, к под знаком интеграла (9.175) равна той величине, которую имела бы функция, характеризующая падающее волновое поле, если бы экрана не было).

Формула (9.175) дает хорошее приближение, когда как размеры отверстия, так и расстояние точки от его краев велики по сравнению с длиной волны.

3. Метод Кирхгофа [75], [104], [134]. Метод Кирхгофа изложим на примере той же задачи, какая рассматривается в § 2.

Для решения уравнения Гельмгольца имеет место формула Грина

Применим эту формулу к области, лежащей правее экрана и поверхности На поверхности экрана полагаем на поверхности полагаем

где — падающая волна. То есть на поверхности волновое поле полагают равным падающему полю при отсутствии экрана. Итак, для и получаем формулу

4. О других асимптотических методах в теории дифракции. В теории дифракции большое значение имеют асимптотические формулы для решения уравнения Гельмгольца при больших значениях

Асимптотика решения задачи Неймана

(здесь - граница выпуклой ограниченной области) исследована в работе [142]. Особую трудность в задачах дифракции вызывает нахождение асимптотики решений задачи в тех зонах, где поле лучей, построенных по законам геометрической оптики, теряет регулярность. Задачи на нахождение асимптотики в таких областях изучаются в работах [8], [19], [88].

Весьма большое значение для нахождения асимптотики широкого круга дифракционных задач имеет метод параболического уравнения. Задачу о распространении волн в двуслойной среде тогда можно с большой степенью точности заменить задачей, где имеется лишь одна среда, а на границе раздела двух сред выполняются граничные условия Леонтовича. Рамки справочника не позволяют рассказать об этих методах подробно. Укажем литературу, где можно найти и изложение этих методов, и примеры их использования: [9], [19], [32], [41], [48], [49], [52], [64], [72], [76], [84], [88], [91], [137].