§ 2. Плоские волны

1. Плоские волны для волнового уравнения. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функция вида

является решением волнового уравнения

какова бы ни была функция Решение вида (9.31) называется плоской волной.

2. Плоские волны для уравнений Максвелла [46], [95]. Для уравнений Максвелла в однородной изотропной среде

решение типа плоской волны рассматривают обычно для случая гармонических колебаний. Полагая в уравнениях

получим соотношения

откуда

Для немагнитной и прозрачной анизотропной среды, когда роль диэлектрической постоянной играет тензор плоские волны имеют вид:

символ Кронекера.

Связь между направлением вектора и его величиной дается уравнением Френеля

или, если тензор приведен к главным осям,

3. Плоские волны в теории упругости [95]. Для уравнений теории упругости решения типа плоской волны имеют вид:

(продольная плоская волна),

(поперечная плоская волна). Вид функции здесь произволен.

Функцию и величины не обязательно считать вещественными. Особенно важный случай мы получим, если положим а в формулах (9.30) и (9.40), — в формуле (9.41). При таком выборе мы получаем гармонические плоские волны С частотой Естественно, что в случае невещественных физический смысл надо приписывать только вещественной или мнимой части векторов или скаляров, описывающих волновое поле.

4. Отражение и преломление плоских волн в случае волнового уравнения. Пусть волновой процесс в среде 1, где описывается волновым уравнением

а в среде уравнением

Пусть на границе раздела двух сред выполняются краевые условия

Одна плоская (падающая) волна

двигающаяся в среде 1 к границе, не удовлетворяет краевым условиям. Составим следующую функцию;

где через гготр обозначена отраженная волна:

а через преломленная волна:

Функция (9.45) уже удовлетворяет краевым условиям (9.44). Для вещественности падающей волны нужно, чтобы

Если то преломленную и отраженную волны естественно считать комплексными, а функцию регулярной в верхней (нижней) полуплоскости. В этом случае в формулах (9.46), (9.47) нужно полагать

5. Отражение и преломление плоских электромагнитных волн [46]. Пусть электромагнитная плоская монохроматическая волна падает из среды 1 на границу раздела двух сред 1 и 2, Обе среды предполагаем прозрачными и немагнитными

Если — острый угол между нормалью к фронту (т. е. лучом) и нормалью к поверхности (т. е. — угол падения), и — аналогичные углы соответственно для отраженной и преломленной волн -угол отражения, — угол преломления), то

диэлектрическая постоянная для среды 1 (среды 2).

Пусть вектор в падающей волне перпендикулярен к плоскости падения тогда электрические векторы в отраженной и преломленной волнах будут параллельны причем имеют место формулы Френеля

Векторы нетрудно выразить через используя соотношения (9.33) и (9.34).

В том случае, когда вектор перпендикулярен к плоскости падения, то же будет относиться к векторам причем имеют место формулы Френеля

Векторы нетрудно выразить через используя соотношения (9.33) и (9.34).

6. Отражение плоских упругих волн от свободной границы [95]. При рассмотрении плоских волн в теории упругости естественно рассматривать задачу как плоскую и считать, что потенциалы являются функциями типа плоской волны.

Пусть граница полуплоскости свободна от напряжений и на нее падает плоская продольная волна, описывающаяся потенциалом

Выпишем потенциалы отраженных продольной и поперечной волн:

Пусть на границу падает поперечная волна с потенциалом

Для отраженных волн имеем:

В случае, когда , отраженные волны будут комплексными. Функцию нужно считать в этом случае

регулярной в верхней (нижней) полуплоскости, если

Приведем еще одно важное решение уравнений теории упругости, связанное с комплексными плоскими волнами и удовлетворяющее условию отсутствия напряжений

Пусть регулярна в верхней полуплоскости и

Если потребовать, чтобы напряжения при отсутствовали, то для получим уравнения

Приравняв нулю определитель, получаем:

Это уравнение, называемое обычно уравнением Рэлея, имеет два вещественных корняи — причем Величина с называется скоростью волн Рэлея. Если функция быстро затухает при увеличении то колебания заметно отличны от нуля только вблизи поверхности полупространства. Эти волны, распространяющиеся в окрестности поверхности полупространства и быстро затухающие с глубиной, называются волнами Рэлея. Сам Рэлей рассматривал случай

Важная задача об отражении и преломлении плоских волн на границе если области и представляют собой два однородных изотропных полупространства, здесь не будет рассмотрена ввиду своей громоздкости