§ 6. Сведения о более общих гиперболических уравнениях второго порядка

1. О t-гиперболическом уравнении второго порядка.

Пусть

— -гиперболическое уравнение. Коэффициенты уравнения и вообще все функции, встречающиеся в этом параграфе, будем считать достаточно гладкими.

Гиперповерхность в пространстве будем считать пространственноподобной (см. стр. 63), т. е.

Задача Коши

с данными на такой гиперповерхности корректна.

Доказательство корректности в случае аналитических коэффициентов с помощью построения фундаментального решения имеется в монографии [361 и статье [39]. В случае гладких коэффициентов решение задачи Коши можно свести к решению интегрального уравнения типа Вольтерра и, анализируя это уравнение, доказать корректность. Такой метод применяется в монографии [36] для четного Корректность в случае нечетного отсюда выводится как следствие с помощью так называемого метода спуска. Для нечетного задача Коши решается с помощью интегрального уравнения типа Вольтерра в монографии [27]. Для четного применяется метод спуска (см. также [39]).

В монографии изучена гладкость решения задачи Коши в зависимости от гладкости коэффициентов и начальных данных. Метод, примененный там, — априорные оценки решений в нормах (так называемые оценки энергетического типа). При достаточно гладких коэффициентах для -кратной непрерывной дифференцируемости решения достаточно, чтобы у было раз непрерывно дифференцируемым, а — раз

В случае постоянных коэффициентов указаны более точные оценки гладкости для (см. [14], стр. 38).

Метод интегрального уравнения Вольтерра дает, вообще говоря, теорему существования решения задачи Коши только вблизи поверхности, несущей начальные данные. Существование решения задачи Коши «в большом» можно получить с помощью метода конечных разностей [16].

2. О фундаментальном решении задачи Коши. Для линейного гиперболического оператора вида (2.116) с гладкими коэффициентами существует так называемое фундаментальное решение задачи Коши.

Если гиперболический оператор вида (2.116), то фундаментальным решением задачи Коши для этого оператора называется обобщенная функция, решающая задачу Коши:

Здесь дифференциальный оператор, сопряженный по Лагранжу (см. стр. 20) с дифференциальным оператором

а символ означает -функцию Дирака [7].

Если функция удовлетворяет уравнению

при то поверхность называется характеристикой оператора Если характеристическая поверхность имеет коническую точку то такую поверхность называют характеристическим коноидом.

Функцию определяющую характеристический коноид, можно выбрать так, что в окрестности точки она будет достаточно гладкой, причем

Здесь матрица, обратная матрице, которую образуют в точке коэффициенты при старших членах уравнения (2.121). Аналитический характер фундаментального решения следующий:

1) нечетное:

здесь производная порядка от функции Дирака, функция Хевисайда:

2) четное:

здесь обобщенная функция, которая получается при аналитическом продолжении «обычной» функции в точку достаточно гладкие функции своих аргументов, аналитические, если коэффициенты уравнения (2.116) аналитичны [15], [33], [36], [39]. Пусть фундаментальное решение определено вблизи пространственноподобной гиперповерхности

причем

Чтобы решить в квадратурах задачу Коши (2.118), надо применить формулу Остроградского к интегралу

это дает формулу

Здесь

нормаль имеет отрицательную проекцию на ось Формула (2.129) не содержит справа неизвестных функций (если известна) и дает в квадратурах решение задачи Коши. Интегралы в формуле (2.129) имеют тот смысл, который придают таким интегралам в теории обобщенных функций [7].

Для некоторых уравнений, в частности для важного уравнения

фундаментальное решение можно выписать в явном виде [15], [33], [36], [39]. Для гиперболического уравнения корректна задача отыскания и внутри характеристического конуса, если на поверхности конуса функция и задана. Если известно фундаментальное решение, то решение этой задачи выписывается в квадратурах [39].

3. О диффузии волн в случае уравнения второго порядка. Пусть и решает задачу Коши (2.118), причем Если зависит только от значений начальных данных в произвольно малой окрестности пересечения поверхности характеристическим коноидом с вершиной в точке то говорят, что для уравнения (2.116) отсутствует диффузия волн. Показано [36], [39], что в случае четного диффузия всегда имеет место. В случае нечетного отсутствие диффузии эквивалентно равенству (см. формулу (2.124)). Таково фундаментальное решение волнового уравнения или уравнений, которые к нему сводятся заменой переменных. В случае не найдено ни одного гиперболического уравнения вида (2.116), у которого существовала бы диффузия волн и которое не сводилось бы к волновому заменой переменных и искомой функции. Показано, что любое уравнение вида (2.116) при которого отсутствует диффузия волн, сводится заменой переменных и искомой функции к волновому уравнению [37]. В случае существуют уравнения, не сводящиеся к волновому, для которых диффузия волн отсутствует [40].

4. О смешанной задаче. Для общего -гиперболического уравнения корректна смешанная задача

Здесь область -мерного пространства с границей 5 [16]. Смешанную задачу, рассмотренную в предыдущем параграфе, можно исследовать также с помощью преобразования Лапласа и метода аналитической аппроксимации [16].

Смешанную задачу можно свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве, которое можно изучить методами теории операторов. Это позволяет получить доказательство корректности смешанной задачи с использованием очень небольшого аналитического аппарата [5].

Из результатов работ [25] следует, что в широком классе случаев решения уравнения (2.116), определенные в области будут почти периодическими функциями времени.

Устойчивость решения смешанной задачи при изучалась в работах [6], [26].