§ 5. Точечные источники для полуплоскости и полупространства
1. Волновое уравнение, плоский случай. Решение задачи
легко находится методом отражений, причем для а
получается формула
в тех точках, где 
или — соответствующий интеграл следует заменить нулем. Если краевое условие 
заменить на краевое условие
то в формуле (9.84) знак минус следует заменить на плюс.
2. Волновое уравнение, трехмерный случай. Решение задачи
дается формулой
причем в формуле (9.87) следует считать, что при отрицательных значениях аргумента 
Если краевое условие 
заменить на
то в формуле (9.87) знак минус следует заменить на плюс.
3. Уравнения Максвелла [95]. Пусть вертикальный сосредоточенный диполь помещен в точке 
Его момент пусть равен нулю при 
а при равен
где 
орт оси 
Область пусть занята идеальным проводником, т.е. 
а область — воздухом 
Тогда поле, возбужденное диполем, легко найти по методу отражений. Если взять за поляризационный потенциал
и вычислить 
и 
по формулам (9.11), (9.12), то найденное таким образом поле и будет полем, возбужденным вертикальным осциллятором над идеально проводящей плоской землей.
4. Теория упругости, плоская задача Лэмба [69], [80], [95]. Плоская задача Лэмба — это задача о нахождении вектора смещений 
соответствующего вертикальному или горизонтальному сосредоточенному импульсу, действующему на границе полуплоскости 
Задача эта ставится так: нужно найти вектор смещения 
удовлетворяющий 
уравнениям теории упругости
и краевым и начальным условиям:
(нормальное воздействие). В случае касательного воздействия импульса граничные условия будут другими, а именно:
Решение этих задач проще всего записать с помощью потенциалов:
В случае нормального воздействия имеем:
Радикал в правой полуплоскости фиксируется условиями:
В случае касательного воздействия формулы 
заменяются на формулы
где
5. Трехмерные осесимметричные задачи теории упругости [60], [61], [63], [69], [95]. Задача ставится аналогично задаче (9.90), (9.91), только полуплоскость 
заменяется на полупространство 
и краевые условия на
Для решения удобно ввести цилиндрическую систему координат 
тогда
орты цилиндрической системы координат),
где
функции Бесселя. Радикалы фиксируются так же, как в плоском случае.
