§ 5. Метод Фурье для многих независимых переменных

Пусть ограниченная область -мерного пространства с гладкой границей 5.

Нахождение решения и уравнения

где

по граничным условиям

или

где

и начальным условиям

называется смешанной задачей.

Оператор предполагается эллиптическим (см. гл. I, § 3):

Если

и функция удовлетворяет краевому условию (2.97) или (2.97), то называется собственной функцией эллиптического оператора соответствующим собственным числом. Для собственных функций эллиптического оператора развита теория, аналогичная теории собственных функций уравнения Штурма-Лиувилля (§ 2, [16]). Более подробно изучен тот случай, когда где А — оператор Лапласа [12], [18], [30, т. II].

При весьма общих предположениях относительно области и коэффициентов доказано [16], что существует счетное множество собственных чисел, причем все они вещественны и имеют единственную точку сгущения на бесконечности.

Если краевое условие имеет вид (2.97) или (2.97) при кроме того, 0, то отрицательных собственных значений нет. Единственный возможный случай, когда при этих условиях может появиться нулевое собственное значение, — это случай краевых условий (2.97) при причем нужно еще, чтобы Собственная функция при этом — тождественная постоянная.

Каждому собственному числу отвечает конечное число линейно независимых собственных функций. Собственные функции отвечающие различным собственным числам, взаимно ортогональны в том смысле, что

Если одному собственному числу отвечает несколько линейно независимых собственных функций то их всегда можно заменить такими их линейными комбинациями

что будут уже попарно ортогональными:

Итак, без ограничения общности можно считать, что собственные функции ортонормированы:

Если абсолютно интегрируема по области то ее рядом Фурье по собственным функциям оператора называется ряд

Если квадратично интегрируема, то ряд (2.104) сходится к ней в смысле среднего квадратичного

и имеет место формула замкнутости (формула Парсеваля)

При некоторых ограничениях гладкости на границу и на коэффициенты ряд Фурье (2.104) сходится равномерно и допускает -кратное почленное дифференцирование, если в случае краевого условия (2.97) имеет непрерывных производных и

В случае краевого условия (2.97) ряд (2.104) сходится и допускает -кратное почленное дифференцирование, если

Решение задачи (2.96), (2.97) (или (2.97)), (2.99) дает формула

Здесь

В тех случаях, когда удовлетворяют условиям, наложенным на ряд (2.108) допускает -кратное почленное дифференцирование и при дает дважды непрерывно дифференцируемое решение смешанной задачи (2.96), (2.97) (или (2.97)), (2.99). Если же удовлетворяют меньшим условиям гладкости или не выполняются условия (2.107), (2.107), то ряд (2.108) дает, вообще говоря, только обобщенное решение смешанной задачи.

Используя фундаментальное решение задачи (2.96), (2.97), (или (2.97)), (2.99), можно решить более общую задачу.

Назовем пространственноподобной такую поверхность что при

Пусть надо в области найти решение уравнения

удовлетворяющее краевому условию

или

и начальным условиям

Фундаментальным решением смешанной задачи (2.96), (2.97), (2.99) или (2.96), (2.97), (2.99) называется обобщенная функция удовлетворяющая при уравнению (2.96), краевым условиям (2.97) (или и начальным условиям

( — функция Дирака).

Применяя формулу Остроградского к интегралу

получим:

Здесь элемент гиперповерхности символ определяется формулой внешняя нормаль; в частности, на Если функция известна, то правая часть формулы (2.114) содержит только известные функции. Для нетрудно получить разложение

Формулу (2,114) следует применять так: вместо подставить в правую часть ряд (2.115), формально поменять порядок дифференцирования и интегрирования, и полученный ряд даст решение задачи (2.110), (2.111), (2.112) (или (2.110), (2.111), (2.112)).

В работе [22] исследованы особенности фундаментального решения смешанной задачи в случае, когда конечная выпуклая область с бесконечно дифференцируемой границей и краевое условие имеет вид (2.97) и оператор является оператором Лапласа.