§ 9. Теория потенциала для одного параболического уравнения второго порядка
Для параболического уравнения второго порядка можно построить теорию потенциала, во многом аналогичную теорий потенциала для уравнения Лапласа (см. гл, III, § 8).
Рассмотрим в слое 
однородное параболическое уравнение
Будем считать, что коэффициенты этого уравнения ограничены и удовлетворяют условию Гёльдера по х, а старшие коэффициенты, кроме того, удовлетворяют условию Гёльдера также по 
и непрерывно дифференцируемы по 
Пусть 
конечная или бесконечная (не обязательно выпуклая) область пространства 
ограниченная поверхностью типа Ляпунова 5.
Положим для 
Исходным пунктом в теории потенциала для параболических уравнений является следующая формула: 
где
Формула (6,52) вполне аналогична известной формуле Гаусса из теории потенциала для уравнения Лапласа. Далее, имеем при 
причем для функций 
справедливы оценки
Пусть функция 
определена и непрерывна на 
Положим
Функции 
называются соответственно параболическими потенциалами простого и двойного слоя с плотностью 
Из формулы (6.52) вытекает, что для любой точки 
причем верхний знак относится к случаю, когда 
изнутри 
а нижний знак — к случаю, когда 
со стороны внешности 
Формулы (6.55) позволяют сводить к интегральным уравнениям типа (6.50) решение смешанных задач для уравнения (6.51) с нулевым начальным условием и краевыми условиями вида
или
При этом в случае краевого условия (6.56) решение нужно разыскивать в форме потенциала простого слоя, а в случае краевого условия (6.57) — в форме потенциала двойного слоя. Получающиеся при этом интегральные уравнения, в силу соотношений (6.53) и (6.54), имеют слабо полярные ядра. Поэтому процесс последовательных приближений для них сходится.
