§ 5. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области

1. Вводные замечания. Пусть конечная область -мерного евклидова пространства. Переменную точку области будем обозначать через х, а ее декартовы координаты — через

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где суть ограниченные функции в замкнутой области Предположим, что коэффициенты непрерывны в

Уравнение (7.61) называется эллиптическим в некоторой области, если в этой области все собственные числа матрицы положительны. Пусть уравнение (7.61) — эллиптическое в области Будем называть его вырождающимся эллиптическим уравнением в если на всей границе области или на некоторой части этой границы хотя бы одно из собственных чисел матрицы обращается в нуль; эту часть границы будем называть поверхностью вырождения уравнения (7,61),

В последующих пунктах этого параграфа мы приведем основные результаты об эллиптических уравнениях, вырождающихся на части границы области, причем линия вырождения совпадает с отрезком прямой

2. Постановка краевых задач. В области ограниченной отрезком оси х и простой гладкой кривой выходящей из точек и лежащей в полуплоскости у О, рассмотрим уравнение

эллиптическое в вырождающееся на отрезке А В оси х.

Коэффициент с и

Регулярным решением уравнения (7.62) в области будем называть функцию и имеющую непрерывные производные до второго порядка в области и удовлетворяющую уравнению (7.62) во всех точках

Регулярное в области решение уравнения непрерывное в не может принимать внутри области наибольшее положительное значение или наименьшее отрицательное значение.

Лемма 1. Пусть непрерывная в функция и удовлетворяет неравенству

и принимает наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение в некоторой точке Если значения на кривой меньше (больше), чем то

при условии, что этот предел существует.

Задача Дирихле, Найти в области регулярное решение уравнения (7.62), непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее краевому условию

где длина дуги кривой отсчитываемая от точки их непрерывные заданные функции, причем

Задача Найти в области регулярное решение уравнения (7.62), непрерывное в и удовлетворяющее краевым условиям

где непрерывная функция.

Задача К. Найти в области регулярное решение уравнения (7.62), непрерывное в и удовлетворяющее краевым условиям

где производная по некоторому направлению у, образующему острый угол с внутренней нормалью к кривой Функции и компоненты единичного вектора удовлетворяют на условию Гёльдера, непрерывна при кроме того, .

Единственность задачи Дирихле и задачи легко следует из принципа максимума и леммы 1.

В случае аналитических коэффициентов а и с из результатов Векуа [7] следует, что: Теорема 5.1. Решение задачи Дирихле существует. Теорема 5.2. Если в точках направление составляет тупой угол с осью у, то существует единственное решение задачи К.

3. Теория потенциала для уравнения

Для уравнения (7.63) можно построить теорию потенциала, аналогичную теории потенциала для гармонических функций, В полуплоскости уравнение (7,63) имеет два фундаментальных решения:

где постоянные, (7.65)

Нетрудно видеть, что фундаментальные решения (7.64) и (7.65) удовлетворяют соответственно условиям

для всех х, причем

В дальнейшем будем считать

Относительно кривой являющейся частью границы области сделаем следующие предположения: 1) функции дающие параметрическое уравнение кривой имеют вторые производные, удовлетворяющие условию Гельдера в промежутке где I — длина кривой в точках кривая подходит к оси х в перпендикулярном направлении.

Координаты переменной точки на кривой будем обозначать через

Рассмотрим интеграл

где непрерывная функция в промежутке и

Интеграл (7.69) называется потенциалом двойного слоя с плотностью Очевидно, что есть регулярное решение уравнения (7.63) в любой области, лежащей в верхней полуплоскости, не имеющей общих точек ни с кривой ни с осью х. Как и в случае теории логарифмического потенциала, можно показать существование потенциала двойного слоя (7.69) в точках кривой

Теорема 5,3, Потенциал двойного слоя имеет пределы при стремлении к точке извне или изнутри, причем эти пределы различны. Если предел значений изнутри обозначить через а предел извне — через то имеют место формулы

где

Рассмотрим теперь интеграл

где непрерывная функция в обращающаяся на концах кривой в нуль, как Интеграл (7.73) будем называть потенциалом простого слоя с плотностью Потенциал простого слоя (7.73) определен во всей верхней полуплоскости и остается непрерывным при переходе через кривую Потенциал простого слоя (7.73) есть регулярное решение уравнения (7.63) в любой области, лежащей в верхней полуплоскости, не имеющей общих точек ни с кривой ни с осью х, и при беспредельном удалении точки стремится к нулю.

Возьмем на кривой произвольную точку и проведем в этой точке конормаль (см. стр. 156). Рассмотрим на этой конормали какую-нибудь точку не лежащую на кривой и найдем конормальную производную от потенциала простого слоя (7.73):

Интеграл (7.74) существует и в том случае, когда совпадает с точкой

Теорема 5.4. Для непрерывной плотности имеют место следующие формулы:

где

4. Функция Грина оператора Функцией Грина уравнения (7.63) для задачи называется функция удовлетворяющая следующим условиям: 1) внутри области кроме точки эта функция есть регулярное решение уравнения (7.63); 2) она удовлетворяет краевым условиям

3) она может быть представлена в виде

где регулярное решение уравнения (7.63) везде внутри

В случае «нормальной» области ограниченной отрезком [0, 1] оси х и «нормальной» кривой:

функция Грина выписывается в явном виде:

где

Для произвольной области регулярную часть функции Грина ищем в виде потенциала двойного слоя:

Принимая во внимание первую из формул (7.71) и краевое условие (7.77), получим интегральное уравнение для плотности

Ядро имеет слабую особенность, и не является характеристическим числом. Обозначим через резольвенту ядра Тогда решение уравнения (7.81) можно записать в виде

Подставляя (7.82) в (7.80), получим:

Функция Грина позволяет дать представление решения задачи уравнения (7.63), а именно:

Подробное исследование формулы (7.84) показывает, что для кривых удовлетворяющих условиям 1) и 2) п. 3, она является решением задачи уравнения (7.63), если

непрерывная функция при а функция непрерывная при при или может обращаться в бесконечность порядка меньше, чем

Аналогично строится теория потенциала, если использовать второе фундаментальное решение уравнения (7,63).

Функция Грина уравнения (7.63) для задачи Дирихле в случае «нормальной» области имеет вид

и решение задачи Дирихле выражается формулой

Для произвольной области построение функции Грина уравнения (7.63) для задачи Дирихле производится так же, как и для задачи

5. Рассмотрим теперь уравнение

в области расположенной в полуплоскости Коэффициенты - аналитические функции, Граница 5 области состоит из конечного числа отрезков оси х и конечного числа кривых лежащих в полуплоскости Совокупность кривых обозначим через Каждая из кривых такова, что угол, составленный касательной к ней с осью х, удовлетворяет условию Гёльдера, Обозначим через множество концов лежащих на оси х.

Постановка краевых задач для уравнения (7,87) зависит от и поведения коэффициента Ь(х,у) при В одних случаях граничные условия задаются на всей границе области в других — часть границы, совпадающей с линией

вырождения, частично или полностью освобождается от граничных условий. Это объясняется тем, что решение и(х, у) уравнения (7.87) и его производная могут, вообще говоря, обращаться в бесконечность на линии вырождения, Так, если в окрестности прямой не все решения уравнения (7.87) остаются ограниченными при то задача Дирихле, вообще говоря, не имеет решения, В этих случаях оказывается разрешимой следующая задача Е: найти регулярное в области решение уравнения (7.87), остающееся ограниченным при и принимающее заданные непрерывные значения лишь на

Теорема 5.5 [14], Если всегда существует решение задачи Дирихле, а задача неопределенна.

Если то всегда существует решение задачи Дирихле, а задача неопределенна. Если же то задача Дирихле, вообще говоря, не имеет решения, а задача всегда имеет единственное решение.

Если то всегда существует решение задачи Дирихле, а задача неопределенна. Если же и то задача Дирихле, вообще говоря, не имеет решения, а задача всегда имеет единственное решение.

Если то задача Дирихле всегда имеет решение, а задача неопределенна. Если же то задача Дирихле не всегда имеет решение, а задача всегда имеет единственное решение.

Пусть теперь на 5 задаются граничные условия:

Здесь - производная по некоторому направлению образующему острый угол с внутренней нормалью к границе Функции и компоненты единичного вектора у удовлетворяют на условиям Гёльдера, непрерывна на кроме того,

Если в уравнении таковы, что для области всегда разрешима задача Дирихле (см. теорему 5.5), то имеют место следующие теоремы [6]:

Теорема 5.6. В области существует ограниченное решение уравнения (7.87), непрерывное в и удовлетворяющее условиям (7.88) и (7.89).

Теорема 5.7. Если во всех точках направление составляет тупой угол с осью у, то существует единственное непрерывное в решение уравнения (7.87), удовлетворяющее условиям (7.88) и (7.89).

Пусть в уравнении удовлетворяют одному из следующих условий (см. теорему 5.5):

В этих случаях на части границы области совпадающей с осью никаких граничных условий не задается.

Теорема . В области существует ограниченное решение уравнения (7.87), удовлетворяющее условию (7.88).

Теорема 5.9. Если во всех точках направление к составляет с осью у острый или прямой угол, то существует единственное ограниченное решение уравнения (7.87) в области удовлетворяющее условию (7.88).