§ 6. Дифракция от угла и полуплоскости

А. Стационарные задачи

1. Случай дифракции плоской волны. Предположим, что в цилиндрической системе координат падающее возмущение имеет вид плоской монохроматической волны

распространяющейся в направлении Эта волна испытывает отражение и дифракцию от угла а на границе которого заданы однородные условия Дирихле (идеально проводящий клин в случае электромагнитной дифракции или жестко заделанный клин в акустике). Суммарное волновое поле, удовлетворяющее в области уравнению

граничным условиям

и содержащее в себе, помимо падающей и отраженных плоских волн, только уходящее на бесконечность дифракционное возмущение, может быть представлено в виде [62], [68],

где функция Бесселя порядка

2. Случай плоского точечного источника [62], [68], [95], [96]. Перейдем к рассмотрению дифракции от угла цилиндрической волны

в предположении, что суммарное волновое поле и подчиняется в области условиям излучения, уравнению

и удовлетворяет на границе области условиям

Суммарное волновое поле такой задачи может быть представлено формулой

в которой

3. Пространственный случай [62], [68], [131]. Будем считать, что в точке вне двугранного угла на поверхности которого выполняются условия находится источник, создающий в безграничной среде волновое поле

где

Суммарное поле, удовлетворяющее в области уравнению

граничным условиям

и условиям излучения, может быть представлено в виде

где .

Случаи задания условий Неймана на границе угловой области отличаются от только что рассмотренных лишь тем, что в окончательных выражениях вместо произведений будут стоять функции где при При этом суммирование в выражениях для результирующих полей будет начинаться с

Наконец, в случае угловой области с поглощающей границей, т. е. при граничных условиях вида

известно решение [55] для случая начального возмущения в виде плоских монохроматических волн.

4. Стационарные задачи дифракции в теории упругости [131]. В декартовой системе координат (х,у) задан разрез свободный от напряжений, на который падает начальное возмущение (продольное или поперечное) в виде плоской монохроматической волны, изменяющейся во времени по закону Если ввести продольный и поперечный потенциалы, то задача сведется к определению в плоскости функций и из уравнений

граничных условий

и условий излучения, накладываемых на возникающие отраженное и дифракционное возмущения. Решение этой задачи представляется в виде

где потенциалы начального возмущения, а остальные величины определяются из формул:

с которых

Этим же методом можно рассмотреть задачу на дифракцию плоской (продольной или поперечной) монохроматической волны от жестко заделанного упругого полубесконечного выреза.

Б. Нестационарные задачи

5. Случай дифракции плоской волны [68], [79, т. III] [95]. Пусть падающее возмущение имеет вид плоской нестационарной волны

где

обратная величина от скорости распространения), распространяющейся в направлении и испытывающей отражения и дифракцию от угла на образующих которого выполняется условие Суммарное волновое поле, удовлетворяющее в области уравнению

граничным условиям

и нулевым начальным данным

представляется при в виде

где

6. Случай плоского точечного источника Остановимся на случае дифракции от угла волны

созданной действием плоского точечного источника, расположенного в пункте с координатами Как и прежде, будем считать, что на плоскостях выполняется условие . В этих предположениях в угловой области ищется волновое поле, удовлетворяющее уравнению

и нулевым начальным данным

Решение задачи на нестационарную дифракцию волны от угла имеет вид

где

В. Случай пространственного сосредоточенного источника [68]

7. Дифракция волны от угла. Рассмотрим дифракцию волны

созданной действием точечного источника с координатами от угла

Решение этой нестационарной задачи при нулевых граничных условиях и нулевых начальных данных имеет вид

где

8. Дифракция плоской упругой волны от угла [77].

Рассматривается упругая среда, заполняющая плоскость (х,у)

с вырезом В момент до острия угла доходит плоская продольная волна

(а — скорость распространения продольной волны, постоянная, определяющая направление падения волны), вызывающая отраженные и дифрагированные волны. Задача решается при условии, что на сторонах угла отсутствуют касательные напряжения и нормальные смещения:

(что соответствует прилипанию без трения). При данных граничных условиях в указанной угловой области не возникает поперечных возмущений и задача сводится к отысканию продольного потенциала из уравнения

граничных условий

и нулевых начальных данных

Решение последней задачи имеет вид

где

причем

Из других решенных задач на дифракцию нестационарных волн от угловых областей следует упомянуть дифракцию плоской нестационарной волны (продольной или поперечной) от полубесконечного упругого выреза в случае отсутствия на нем смещенийили напряжений [87], [97], [98].