ГЛАВА I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Основные понятия и определения

Дифференциальное уравнение, содержащее, кроме независимых переменных и искомой функции, частные производные этой функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными.

Наивысший порядок входящих в уравнение частных производных называется порядком дифференциального уравнения.

Для математической физики наиболее важны и лучше всего изучены уравнения второго порядка. В случае двух независимых переменных уравнение второго порядка может быть записано в следующей общей форме:

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее производных. Линейное уравнение 2-го порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий общий вид:

где некоторые заданные функции переменных х, у.

Если то уравнение (1.2) называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Рассмотрим уравнение, линейное относительно старших производных. Такое уравнение в случае двух независимых переменных имеет следующий вид:

Если коэффициенты зависят не только от но то уравнение называется квазилинейным.

Линейное уравнение является частным случаем квазилинейного.

Линейное уравнение второго порядка от независимых переменных может быть записано в следующей общей форме:

где - заданные функции от независимых переменных.

Будем рассматривать уравнение в частных производных порядка Функция и, заданная в некоторой области изменения независимых переменных, называется решением или интегралом данного уравнения в области если в этой области функция и имеет непрерывные частные производные до порядка включительно и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Требование существования частных производных порядка часто бывает неоправданным с физической, а иногда и с математической точки зрения, поэтому, наряду с данным только что понятием «классического» решения, вводят еще понятие обобщенного решения уравнения в частных производных.

Мы дадим здесь простейшее определение.

Если существует последовательность классических в решений данного дифференциального уравнения, которая в любой внутренней подобласти данной области равномерно сходится к некоторой функции и, то функция и называется обобщенным решением данного дифференциального уравнения в данной области

Понятие обобщенного решения было введено Соболевым.

Рассмотрим линейное уравнение порядка независимыми переменными, которые обозначим через неизвестную функцию обозначим, как и выше, через . Перенеся известные слагаемые направо, а неизвестные — налево, мы приведем данное уравнение к виду

если то уравнение окажется однородным и примет вид

Иногда скобки опускают и пишут просто

Символ называется линейным дифференциальным оператором от функции и.

Линейные дифференциальные операторы обладают следующими двумя свойствами:

1) постоянный множитель выносится за знак оператора:

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов:

Отсюда вытекают следующие предложения. Для однородных уравнений.

а) Если — решение, а - постоянная, то произведение также есть решение.

б) Если решения, то сумма также есть решение.

Свойство б) распространяется на сумму с произвольным конечным числом слагаемых.

Если имеется бесконечная последовательность решений то ряд

независимо от его сходимости, называют формальным решением. Если решения классические, ряд сходится

равномерно и его сумма имеет необходимые частные производные, то сумма ряда будет классическим решением уравнения (1.6); если ряд сходится равномерно, но его сумма не имеет нужных частных производных, то эта сумма будет обобщенным решением уравнения (1.6).

Если классическое решение и интегрируемая функция параметра а, то интеграл

где произвольная непрерывная функция от а, а пределы интегрирования не зависят от точки х, будет либо классическим решением, если интеграл сходится равномерно и имеет нужные частные производные, либо обобщенным решением, если интеграл сходится равномерно, но не имеет нужных производных.

Для неоднородных уравнений.

а) Если и есть решение неоднородного уравнения, есть решение соответствующего однородного уравнения, то есть решение неоднородного уравнения.

б) Если есть решение неоднородного уравнения с правой частью есть решение неоднородного уравнения с правой частью то есть решение уравнения с правой частью Последнее свойство распространяется и на сумму любого конечного числа слагаемых.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор второго порядка

Пусть в некоторой области коэффициент С непрерывен, коэффициенты непрерывно дифференцируемы, а коэффициенты так же как и функция и, дважды непрерывно дифференцируемы. Оператор

называют сопряженным (часто — сопряженным по Лагранжу) к оператору Для оператора сопряженным будет первоначальный оператор

Если оператор совпадает с то он называется самосопряженным.

Самосопряженный оператор можно привести к виду

Справедлива формула

где

Если конечная область, ограниченная кусочно гладкой поверхностью то справедлива формула Грина

Здесь приняты следующие обозначения: элемент объема в пространстве координат элемент поверхности; направление внешней нормали к поверхности действие интегрирования, независимо от его кратности, обозначается одним знаком интеграла. Эти обозначения будут широко использованы в дальнейшем.