§ 7. Задачи стационарной дифракции в случае цилиндрических и сферических границ раздела

1. Стационарная дифракция в случае волнового уравнения [29], [53], [96], [105], [106], [115]. Введем сферическую систему координат Уравнение границы раздела сред: координаты источника, временной множитель

Скалярное волновое поле (не зависит от координаты является решением уравнений

(для безграничной среды для внутренности сферы при следующих граничных условиях:

где скорость распространения волн соответственно во внешней внутренней средах; параметры, характеризующие среду.

Решения уравнений (9.120) при условиях (9.121), (9,122) с учетом принципа излучения для безграничной среды представимы в виде:

а) поле вне сферы

б) поле внутри сферы

В цилиндрической системе координат уравнение границы раздела сред: координаты источника. Решая уравнения

при условиях сопряжения на границе, определенных формулами (9.121), (9.122), получим следующие выражения для скалярных волновых полей;

а) поле вне цилиндра с учетом принципа излучения;

б) поле внутри цилиндра

2. Задачи стационарной дифракции электромагнитных волн для сферических и цилиндрических границ раздела.

а) Цилиндрическая граница цилиндрической системе координат уравнение границы раздела сред: координаты источника. Зависимость поля от времени имеет вид

Электромагнитное поле будем характеризовать векторами которые целесообразно представить суммой полей типа ТМ и ТЕ по формулам

для внешности и внутренности цилиндра, причем проекции векторов на ось тождественно равны нулю. Введем:

при помощи векторов Герца

Тогда дифракционная задача для поля ТМ приводится к решению уравнений

при следующих граничных условиях:

а для поля решению уравнений

с граничными условиями

где

магнитная проницаемость, диэлектрическая постоянная, с — скорость света.

Кроме того, решения для поля вне цилиндра должны удовлетворять принципу излучения при или быть ограниченными при

Ввиду того, что постановки задачи для полей ТМ и ТЕ аналогичны, приводится окончательный вид решений для поля ТМ (электрический диполь). Поле вне цилиндра

Поле внутри цилиндра

В задаче дифракции электромагнитных волн от идеально проводящего цилиндра ищется решение уравнений

(9.131) для полей ТМ и ТЕ соответственно с однородным граничными условиями для (9.132а) и (9.134а).

Условия же (9.1326) и (9.1346), выведенные из требования, что тангенциальная составляющая магнитного поля непрерывна при проходе через поверхность раздела сред, при бесконечно большой проводимости одной из сред теряют смысл.

Поле ТМ в области в этом случае представимо формулой

Это же выражение можно получить непосредственно из (9.135), полагая

б) Сферическая граница раздела [91], [93], [94], [103], [105], [116]. Если в сферической системе координат граница раздела: координаты источника, то, представляя снова электромагнитное поле в виде сумм (9.128), где равны нулю радиальные составляющие векторов и полагая

при учете формул (9.129) сведем задачу к решению уравнений: для поля ТМ

с граничными условиями

для ноля ТЕ

при граничных условиях

Как и выше, решения для полей ТМ и ТЕ вне сферы должны удовлетворять условиям излучения.

Если источник — электрический диполь (поле то, например, для области из формул (9.139), (9.140) следует:

где

и

В случае идеально проводящей среды дифракционная задача для поля ТМ приводится к решению уравнения (9.139) с однородным граничным условием (9.140а), а для поля к решению уравнения (9.141а) при однородном граничном условии (9.142а).

Для поля например, получим следующее представление: