Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Применение функциональных методов исследования эллиптических уравнений, вырождающихся на части границы1. Общие замечания. Рассмотрим эллиптическое уравнение, вырождающееся на части границы области:
функции
а для
причем ранг последней квадратичной формы При исследовании функциональными методами краевых задач для уравнения (7.90) большое значение имеют теоремы вложения для вырождающихся на границе области метрик Пусть
Пусть 2. Первая краевая задача. Будем предполагать, что в уравнении (7.90) коэффициенты дифференцируемы в
и
В случае В случае
или
то первая краевая задача состоит в нахождении решения уравнения (7.90), обращающегося в нуль на на Под решением (обобщенным) первой краевой задачи мы будем понимать такую функцию
где Теорема 6.1. Пусть выполнены неравенства (7.94) и (7.95), коэффициент неравенству (7.96), а при
в некоторой окрестности
то первая краевая задача имеет единственное решение для любой правой части
Если в некоторой окрестности
и выполнены неравенства (7.94) и (7.95) при а
В сопряженном уравнении (7.101) коэффициент Под первой краевой задачей для уравнения (7.90) в случае выполнения неравенств (7.94), (7.95) и условий (7.100) мы будем понимать ту задачу, которой соответствует оператор Теорема 6.2. Если выполнены неравенства (7.94) и (7.95), коэффициент Если коэффициент Теорема 6.3. Если: 1) выполнены неравенства (7.94), (7.95), причем для некоторого (3 имеет место
2) в некоторой окрестности
а задача на собственные значения Соответствующие теоремы для первой краевой задачи для однородного уравнения Пусть 2 — множество всех непрерывных в
где Замыкание 3. Вторая краевая задача. Пусть коэффициенты Пусть при
где Решением (обобщенным) второй краевой задачи (7.90), (7.104) назовем функцию
при любой функции Теорема 6.4. Пусть при некотором
и пусть выполнены следующие неравенства для коэффициентов уравнения (7.90) и краевого условия (7.104):
Тогда вторая краевая задача (7.90), (7.104) имеет единственное решение для любых правых частей Если условия (7.107) и (7.108) не выполнены, то для второй краевой задачи для уравнений (7.90) и (7.101) имеют место три теоремы, аналогичные трем теоремам Фредгольма. Оператор
его спектр (относительно веса В случае а 1 постановка второй краевой задачи зависит от коэффициента Обозначим через 2° множество тех функций Под решением (обобщенным) второй краевой задачи для уравнения (7.90) в случае выполнения условия (7.96) мы будем понимать такую функцию и
Теорема 6.5. Пусть: 1) выполнены неравенства (7.94) и (7.95) при 2) для 3) справедливы неравенства (7.107) и
Тогда вторая краевая задача имеет единственное решение для любых Если в некоторой окрестности
и выполнено условие 1) теоремы 6.5, то вторую краевую задачу для уравнения (7.90) с однородным граничным условием определим как задачу, сопряженную со второй краевой задачей для уравнения (7.101) при однородном граничном условии. Теорема 6.6. Если выполнены условия 1) и 3) теоремы Если коэффициенты уравнения (7.90) гладкие и Разрешимость второй краевой задачи для уравнения (7.90) в случае, когда Теорема 6.7. Пусть выполнено условие
Тогда относительно вторых краевых задач для уравнения (7.90) и сопряженного с ним уравнения (7.101) имеют место три теоремы, аналогичные трем теоремам Фредгольма. Оператор
Задача о собственных значениях
Если
а
где О — любая внутренняя подобласть области
|
1 |
Оглавление
|