§ 4. Координаты, в которых переменные разделяются
1. Вводные замечания. Достаточным условием для разделения переменных в трехмерном уравнении Гельмгольца является условие представимости произведения коэффициентов Ламе в следующей форме:
где 
величины, зависящие только от 
Определитель, входящий в равенство (4.20), называют иногда определителем Штеккеля. В дальнейшем он обозначается через 
При выполнении условия (4.20) можно положить
и получить для функций 
следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:
Здесь 
константы разделения, определяемые из граничных условий, причем 
Помимо декартовых, круговых, цилиндрических и сферических координат, в которых процесс разделения переменных уже описан, условию (4.20) удовлетворяют координатные системы, сведения о которых приведены в гл. III.
Ниже даются выражения для 
и приводятся разделенные уравнения.
2. Эллиптические цилиндрические координаты:
3. Параболические цилиндрические координаты:
4. Конические координаты:
Второе и третье уравнения иногда преобразуются к новым независимым переменным подстановками
одна из эллиптических функций [10]. При этой подстановке
5. Параболические координаты вращения:
Так как 
то третье уравнение часто преобразуют к независимому переменному 
6. Вытянутые сфероидальные координаты:
Разделенные уравнения:
Напоминаем, что 
Уравнения иногда преобразуются к переменным 
7. Сплющенные сфероидальные координаты:
Уравнения иногда преобразуются к переменным 
8. Эллипсоидальные координаты:
Разделенные уравнения иногда преобразуют к новым независимым переменным 
подстановками
эллиптические функции.
9. Параболоидальные координаты:
Разделенные уравнения иногда преобразуют к независимым переменным 
В некоторых, впрочем весьма редких, случаях удается достаточно просто найти точное решение задачи для области, границы которой не являются координатными линиями или поверхностями, принадлежащими системе координат, в которой переменные разделяются. В качестве примера приводим решение следующей задачи.
10. Первая краевая задача для равнобедренного прямоугольного треугольника. (Уравнения сторон: 
)
Собственные значения:
Собственные функции:
