§ 8. Задачи нестационарной дифракции в случае цилиндрических и сферических границ раздела

1. Скалярное волновое поле линейного источника в двух однородных средах, разделенных круговой цилиндрической границей. Пусть в цилиндрической системе координат уравнение границы раздела сред, координаты линейного источника, интенсивность источника, начинающего действовать в момент времени при Волновое поле к (не зависящее от координаты является решением уравнения

в котором

— кусочно постоянная функция, при следующих условиях сопряжения на границе сред:

и начальных данных

Постоянные и суть скорости распространения волн соответственно во внутренней и внешней средах, и плотности этих сред.

Если ввести обозначения:

то решение уравнения (9.146) при условиях (9.147) и (9.148) определяется следующими формулами. Внешний источник

а) Поле во внешней среде

б) Поле во внутренней среде

В формулах (9.149) и (9.150)

функция Бесселя, функция Ханкеля второго рода, преобразование Лапласа от функции

поле источника в безграничном пространстве, занятом средой со скоростью распространения

Внутренний источник

а) Поле во внешней среде

б) Поле во внутренней среде

В формулах (9.155) и (9.156)

поле источника в безграничном пространстве, занятом средой со скоростью распространения

2. Скалярное волновое поле точечного источника в двух средах, разделенных сферической границей. Пусть в сферической системе координат уравнение границы раздела сред, координаты точечного источника интенсивности при Волновое поле и силу осевой симметрии задачи и не зависящее от является решением уравнения (9.146), правая часть которого заменена выражением

при условиях (147), (148).

Волновое поле и в случае сферической границы при различных положениях источника и точки наблюдения выражается рядом

Функции определяются по формулам (9.151), (9.152), (9.153) и (9.157), (9.158), в которых должны быть произведены следующие изменения. В формулах (9.151) и (9.158) подынтегральная функция умножается на в формулах (9.152) и (9.157) - на , кроме того, все функции Бесселя и Ханкеля целого значка и их производные должны быть соответственно заменены функциями

и их производными.

Поле источника в безграничной среде, входящее в равенства (9.149) и (9.156), определяется теперь соответственно по формулам

и

Ряды (9.149), (9.150) и (9.155), (9.156) удовлетворяют уравнению (9.146) и условиям (9.147), (9.148) в обычном смысле при достаточно плавном включении источника. В противном случае формулы (9.149), (9.150) и (9.155), (9.156) дают обобщенное решение задачи (9.146) — (9.148).