§ 3. Краевые задачи для конечного отрезка

1. Постановка краевых задач. Постановку краевых задач мы формулируем для случая 1 § 1, когда изучаемое уравнение можно рассматривать как уравнение теплопроводности.

Другие физические задачи приводят по большей части к тем же краевым условиям.

Мы рассмотрим уравнение

при заданном начальном распределении температур

и при граничных условиях следующих типов:

Первая краевая задача: на границах стержня заданы температуры как функции времени:

Вторая краевая задача: заданы тепловые потоки, проходящие через торцевые сечения стержня. Так как тепловые потоки пропорциональны частным производным по х, то можно задать:

Третья краевая задача: на торцах стержня происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей заданную температуру, являющуюся известной функцией от времени:

Встречаются и смешанные задачи, когда на разных концах стержня задаются условия различных типов.

Четвертая краевая задача: рассматривается кольцевой стержень длиной краевые условия заменяются условиями периодичности:

Первые три краевые задачи называются однородными, если равны нулю.

2. Метод разделения переменных (метод Фурье). Начнем с решения однородного уравнения

при однородных краевых условиях.

Положим и и подставим в уравнение (6.15); разделяя переменные, получим:

откуда

Краевые условия определяются граничными условиями для функции у, которая должна быть решением краевой задачи Штурма-Лиувилля (см. гл. II).

Обозначая через собственные значения краевой задачи, а через собственные функции, получим:

Решением будет ряд

При используя начальные условия, будем иметь:

откуда

если собственные функции нормированы, и

где

если собственные функции не нормированы. Предполагается, что функция удовлетворяет обычным требованиям, обеспечивающим разложимость по собственным функциям. (Достаточно, чтобы она была кусочно гладкой и удовлетворяла граничным условиям.)

Подставляя найденные значения в формулу (6.17), придадим ей вид

где

Функция называется функцией мгновенного источника (или функцией Грина). Чтобы выяснить ее физический смысл, рассмотрим начальное распределение температур в виде -функции (функции Дирака), отличающейся нуля в одной точке в которой она равна бесконечности, причем интеграл от этой функции равен единице. Тогда

Следовательно, температура, созданная в точке в момент тепловым источником единичной интенсивности, сосредоточенным в точке в момент Функция симметрична относительно переменных и

Перейдем к решению неоднородного уравнения

с начальным условием при и однородными граничными условиями.

Решение будем искать в виде ряда по собственным функциям

где подлежат определению. Функцию также представим рядом

где коэффициенты разложения, определяемые по формулам

где

Подставляя в уравнение, будем иметь:

откуда с учетом того, что при получим:

и, следовательно,

Решение можно представить также в следующей форме:

где

Физический смысл решения таков: его можно рассматривать как результат суммирования действия мгновенных источников, распределенных по длине стержня (интегрирование по и распределенных по времени (интегрирование по

Решение неоднородного уравнения при любых начальных условиях получается суммированием:

Неоднородные граничные условия сводятся к однородным заменой

где любая дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая неоднородным граничным условиям. Для получаем уравнение с измененной правой частью. Если уравнение для определения и записать в виде то уравнение для будет иметь вид граничные условия для функции будут однородными, а начальное условие при будет следующим:

Таким образом, получив решение однородной краевой задачи для однородного уравнения и составив выражение для функции источника, можно получить решения неоднородных задач в квадратурах.

3. Интеграл Дюгамеля. Пусть есть решение неоднородной краевой задачи при условиях

и при однородных начальных условиях; тогда функция

будет решением следующей краевой задачи:

при однородных граничных условиях. Формула (6.28) называется интегральной формулой Дюгамеля. Аналогично краевая задача

сводится к краевой задаче

4. Частный случай постоянных В силу сказанного выше рассматриваем только однородное уравнение

полагая получим:

откуда

Первая краевая задача. Собственные значения:

Собственные функции (ненормированные):

Неоднородные граничные условия можно привести к однородным заменой

Вторая краевая задача. В этом случае также является собственным значением, а -соответствующей собственной функцией; собственные значения для Собственные функции;

Неоднородные граничные условия сводятся к однородным заменой

Третья краевая задача. Собственные значения определяются через корни уравнения

где

Собственные функции:

Сведение неоднородных граничных условий к однородным может быть достигнуто заменой

Четвертая краевая задача. Имеется собственное значение соответствующая собственная функция:

Собственные значения где целое число; каждому собственному значению, кроме нулевого, соответствуют две собственных функции:

5. Функция Грина и функция Якоби. В теории эллиптических функций встречается функция

называемая функцией Якоби. Первый ряд быстро сходится при больших второй — при малых

Через эту функцию легко выражаются функции Грина некоторых из рассмотренных краевых задач. Первая краевая задача:

Решение первой краевой задачи при неоднородных ничных условиях также выражается через функцию Якоби. При однородных начальных условиях

Вторая краевая задача:

Третья краевая задача:

Смешанные краевые задачи:

6. Некоторые смешанные краевые задачи.

а) Граничные условия:

Собственные значения:

Собственные функции;

б) Граничные условия:

Собственные значения определяются через корни уравнения где Собственные функции: