§ 2. Общие свойства решений уравнений параболического типа

1. Непрерывные решения уравнения (6.3) представляют собой аналитические функции от х, т. е. в окрестности любой точки такие решения могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням разности Непрерывные решения уравнения (6.3) бесконечно дифференцируемы относительно переменной но, вообще говоря, не аналитичны.

2. Принцип максимума. Рассмотрим в плоскости прямоугольник

Назовем линией 5 ломаную, состоящую из трех сторон прямоугольника Наибольшие и наименьшие значения всякого непрерывного решения уравнения (6.3) на прямоугольнике достигаются на ломаной

3. Существует единственное решение уравнения (6.3), принимающее заданные значения на линии (Заданные значения предполагаются непрерывными.)

4. Решение непрерывно зависит от краевых значений, заданных на линии 5.

5. Решение, ограниченное на всей плоскости есть величина постоянная.

Некоторыми свойствами уравнения (6.3) обладает и более общее уравнение

1) Для уравнения (6.9) справедливы свойства 3, 4, если функции имеют непрерывные производные.

2) Если аналитические функции то непрерывные решения аналитичны по х.