ГЛАВА V. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЩИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

§ 1. Эллиптические уравнения и системы [5], [19], [24]

1. Эллиптическое уравнение второго порядка. Линейное уравнение в частных производных второго порядка с независимыми переменными имеет вид

Здесь -функции независимых переменных эти последние мы будем трактовать как координаты некоторой точки в n-мерном евклидовом пространстве Будем считать, что функции измеримы и ограничены.

Уравнение (5.1) называется эллиптическим в некоторой области если для любой точки и для любых вещественных чисел выполняется неравенство

где некоторая положительная функция точки Если при этом существует такая постоянная что при любом то эллиптическое уравнение (5.1) называется не вырождающимся. Для невырождающегося

эллиптического уравнения неравенство (5.2) можно заменить следующим более сильным неравенством:

очевидно, для невырождающегося уравнения и можно положить .

Если выполнено неравенство (5.2), то его левая часть не обращается в нуль ни при каких значениях переменных и потому не меняет знака; изменив в случае необходимости знаки обеих частей уравнения (5.1) и обозначения коэффициентов, можно считать, что уравнение (5.1) и неравенство (5.2) имеют соответственно вид

при этом неравенство (5.3) запишется так:

Если то эллиптическое уравнение называется вырождающимся, об этих уравнениях см. гл. VII настоящего сборника.

Пример. Уравнение Лапласа

уравнение Пуассона

уравнение Гельмгольца

уравнение Шредингера

суть невырождающиеся эллиптические уравнения; о первых трех уравнениях см. гл. III и IV настоящего сборника.

2. Эллиптические уравнения высших порядков. Линейное уравнение в частных производных порядка можно представить в виде

можно считать, что коэффициент Не меняется ни при какой перестановке индексов Уравнение (5.4) называется эллиптическим в области если для любых вещественных чисел выполняется неравенство

Пусть все коэффициенты ограничены. Эллиптическое уравнение (5.4) называется не вырождающимся, если и вырождающимся, если

Важным примером эллиптического уравнения высшего порядка является полигармоническое уравнение

где означает итерацию (или, что то же, степень) оператора Лапласа и определяется рекуррентными соотношениями

Имеет место представление

3. Эллиптические системы уравнений [24]. Пусть система уравнений в частных производных содержит неизвестных функций и пусть порядок входящих в систему старших производных функции Такую систему можно записать в виде

Внутреннее суммирование совершается по всевозможным значениям индексов от единицы до я; для данного индекс Рассмотрим определитель порядка которого на пересечении строки и столбца находится элемент

Система (5.6) называется эллиптической в области если при любом и при любых значениях вещественных переменных не равных одновременно нулю, упомянутый определитель отличен от нуля.

Если то система сводится к одному уравнению; в этом случае определение настоящего пункта равносильно определениям пп. 1 и 2.

4. Сильно эллиптические системы [5]. Пусть Добавляя в случае надобности члены с коэффициентами, равными нулю, можно записать систему (5.6) в виде

где внутреннее суммирование совершается по всевозможным значениям индексов от единицы до суть дифференциальные операторы от порядки которых не превосходят

Введем в рассмотрение векторы с составляющими соответственно и матрицы порядка элементами

Известно, что любая матрица А может быть представлена в виде суммы где -симметричная, а - косо-симметричная матрица; для этого достаточно положить

где А — матрица, сопряженная с В соответствии с этим представим каждую матрицу в виде

Система (5.7) называется сильно эллиптической в данной точке х, если при любых значениях вещественных чисел не равных одновременно нулю, матрица

будет знакоопределенной. Та же система называется сильно эллиптической в некоторой области если она сильно эллиптична в каждой точке этой области.

Всякая сильно эллиптическая система одновременно и эллиптична.