2. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона.

1) Задача о стационарном распределении температур в изотропном теле при отсутствии в нем источников и поглотителей тепла приводит к уравнению Лапласа, в котором и — температура, рассматриваемая как функция от координат.

Если в теле распределены источники тепла, мощность которых не меняется со временем, то температура удовлетворяет уравнению Пуассона.

2) Установившееся потенциальное течение несжимаемой жидкости также приводит к уравнению Лапласа. Для потенциального течения вектор скорости где потенциал скорости. Если в потоке отсутствуют источники и стоки жидкости, то и удовлетворяет уравнению Лапласа; при наличии распределенных источников и стоков потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Пуассона.

3) Потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Лапласа в области, не содержащей зарядов, и уравнению Пуассона в области непрерывно распределенных зарядов.

4) Потенциал ньютонова гравитационного поля удовлетворяет уравнению Лапласа в области, не содержащей гравитирующих масс, и уравнению Пуассона в области, содержащей распределенные гравитирующие массы.

5) Задача упругого кручения призматического стержня приводит к двумерному уравнению Лапласа для так называемой функции кручения. Через эту функцию и ее производные просто выражаются напряжения и деформации. К двумерному уравнению Лапласа приводит также и задача изгиба призматического стержня.

6) Задача о статических прогибах мембраны приводит к двумерному уравнению Пуассона, в котором и — прогиб мембраны, а отношение интенсивности внешней нагрузки к напряжению мембраны.