§ 4. Уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных

1. Случай полного вырождения; пограничный слой. Рассмотрим в круге следующую краевую задачу:

При малых естественно ожидать, что решение близко к Однако правая часть, вообще говоря, не удовлетворяет граничному условию (5.63), поэтому вблизи границы

функция не будет малой. Возьмем в качестве приближенного решения нашей задачи функцию

где полярные координаты, а сглаживающая функция при при имеет достаточное количество производных). Нетрудно убедиться в том, что погрешность получающаяся от замены точного решения приближенным решением (5.64), во-первых, удовлетворяет краевому условию (5.63) и, во-вторых, Отсюда на основании принципа максимума заключаем, что в круге будет Таким образом, выражение (5.64) дает первое приближение к решению нашей задачи во всей рассматриваемой области. Остановим наше внимание на втором слагаемом в (5.64). Это слагаемое при малых существенно отлично от нуля только в непосредствейной близости от границы круга Функции такого типа называются функциями типа пограничного слоя. Дадим точное определение: функция определенная в открытой области и дифференцируемая раз, является функцией типа пограничного слоя порядка, если: 1) и все ее производные до порядка включительно равномерно стремятся к нулю при на любом замкнутом подмножестве производные стремятся к нулю при равномерно в производные ограничены в среди производных есть хотя бы одна, стремящаяся к при в рассматриваемой норме.

Пользуясь введенным определением, мы можем сказать, что второе слагаемое в (5.64) есть функция типа пограничного слоя нулевого порядка.

Разобранный пример весьма типичен. Суть дела здесь заключается в том, что при полном вырождении (за счет задачи второго порядка (т. е. при ее вырождении в тривиальную задачу решение и, будет иметь вид

где решение «вырожденной» задачи, функция типа пограничного слоя и — величина порядка Можно

получить более точную асимптотическую формулу, нежели (5.65). Как это делается, мы покажем в следующем пункте для несколько иного случая.

Отметим, что впервые на описанное явление обратил внимание Риман в 1854 г. (см. Б. Риман, Сочинения, Гостехиздат, 1948, стр. 428).

2. Вырождение в уравнение первого порядка. Рассмотрим эллиптический дифференциальный оператор имеющий вид

где

Пусть плоская область с границей такой, что всякая прямая при пересекает точно в двух точках. Прямые касаются в точках Таким образом, точки разбивают на две дуги, которые мы обозначим через и (точки дуги имеют меньшие абсциссы, чем соответствующие точки

Задачей будем называть задачу о построении решения уравнения

при условии

Задачей назовем аналогичную задачу для уравнения

при условии

Отметим, что прямые суть характеристики уравнения (5.68). Заметим также, что условие (5.66) обеспечивает существование и единственность решения задачи А, для

достаточно малых Нас интересует, что происходит с решением задачи при Введем в окрестности систему координат для чего проведем из точек дуги внутрь векторы длины с гладкостью образующие острый угол с осью достаточно малом эти векторы между собой не пересекаются. Координата точки есть длина а есть длина части дуги Тогда оператор будет иметь вид

Если коэффициенты достаточно гладкие, то коэффициенты в (5,69) можно разложить по степеням

и т. д. Если сделать еще «одну замену переменной то мы получим:

где

некоторые дифференциальные операторы, коэффициенты которых при имеют вид Обозначая через решение задачи мы сможем определить последовательно функции из условий

Следует подчеркнуть здесь три обстоятельства. Во-первых, задачу мы умеем решать при любой правой части. Таким образом, мы сможем фактически построить функции Во-вторых, оператор есть обыкновенный линейный дифференциальный оператор с постоянными (относительно t) коэффициентами, так что уравнения (5.71) и (5.72) также легко последовательно решаются. -третьих, условия (5.70) и отмеченные свойства операторов позволяют индукционно показать, что

многочлены относительно степени с коэффициентами, зависящими от Следовательно, функции суть функции типа пограничного слоя порядка. Положим теперь

где сглаживающая функция, введенная в п. 1. Справедлива следующая

Теорема [6]. Если коэффициенты оператора (5.67), функции и кривая имеют гладкость порядка то для в (5.73) справедлива оценка

где часть области получаемая исключением из окрестности точек

Приведенная теорема — далеко не единственный результат исследования асимптотического поведения при Рассматривались вопросы о поведении во всей области возможности почленного дифференцирования формулы (5.73), о поведении при более жестких требованиях на гладкость функций, входящих в задачу Ответы на эти вопросы и библиографию по данной теме читатель найдет в [6].

Если часть границы совпадает с характеристикой вырожденного оператора то разность имеет

вблизи характер пограничного слоя. При построении асимптотических формул для и, в этом случае вместо обыкновенного дифференциального оператора в уравнениях типа (5.71) и (5.72) будет фигурировать параболический оператор.

3. Краевые задачи с большими коэффициентами в подобласти. Пусть на плоскости задано эллиптическое дифференциальное уравнение второго порядка

где коэффициенты, вообще говоря, комплексны и зависят от параметра Пусть, далее, на плоскости имеется замкнутый контур Обозначим области внутри через и вне через коэффициенты предполагаются разлагающимися по степеням конечного порядка или в бесконечные ряды) и ограниченными. В поведение этих коэффициентов определяется формулами:

самом контуре коэффициенты могут иметь разрыв. Поставим задачу нахождения такого решения уравнения (5.74) на всей плоскости, которое удовлетворяло бы на условиям согласования

где - нормаль к Ввиду сказанного о поведении коэффициентов в в этой области оператор можно представить в виде

Введем в окрестности локальные координаты подобно тому, как это сделано в п. 2, только будем считать отсчитываемым по нормали (значения отвечают точкам в и положим Мы получим второе разложение оператора

где

— обыкновенный дифференциальный оператор по Пусть характеристический многочлен

имеет один корень, с отрицательной вещественной частью, а другой, с положительной вещественной частью. Предполагается, далее, что задача (5.74), (5.75) имеет единственное решение, не очень быстро растущее при Точнее, предполагается, что

где - метрики в некоторых банаховых пространствах.

Пусть, наконец, не является собственным числом оператора при граничном условии и Тогда

Здесь функции находятся последовательно с помощью расщеплений (5.76) и (5.77) оператора и граничных условий, определяемых равенствами (5.75). Как и в п. 2, следует подчеркнуть, что: 1) для нахождения функций достаточно уметь обращать оператор (при неоднородных граничных условиях); 2) для нахождения функций — решать линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами; 3) функции суть функции типа пограничного слоя. Если разложения (5.78) оборвать на члене, то погрешность будет иметь порядок Заметим еще, что второе из разложений (5.78)

имеет смысл только вблизи Чтобы разложение имело смысл во всем D надо умножить его на сглаживающую функцию . В случае, когда есть точка спектра оператора при условии также можно получить разложения типа (5,78), но здесь они будут начинаться с отрицательных степеней Иначе говоря, в этом случае при имеет полюс. По поводу этого пункта см. [3, гл. 1].

4. Краевые задачи с бесконечно узкими барьерами. С помощью итерационных процессов, аналогичных описанным выше, можно получить асимптотические формулы для решений краевых задач с бесконечно узкими барьерами.

Именно, пусть область с границей разбита контуром на две части: (внутри и (между Пусть, далее, коэффициенты уравнения

терпят на разрыв.

Введем в окрестности локальные координаты причем отвечает точкам и выделим примыкающую к полосу Зададим в этой полосе уравнение

коэффициенты которого допускают разложения вида

причем хотя бы одна из производных где отлична от нуля (функцию, у которой эта производная отлична от нуля, естественно назвать быстро изменяющейся по

Введем оператор задаваемый в левой частью формулы (5.79) и в левой частью формулы (5.80). При этот оператор не определен, так как его коэффициенты могут терпеть здесь разрывы. Положим, далее,

Задача ставится так: найти решение уравнения в области непрерывное вместе с при и удовлетворяющее граничному условию Оказывается, что и здесь удается провести итерационный процесс с помощью разложения оператора в полосе по степеням При этом для последовательного определения функций (в данном случае функции будут быстро изменяющимися по не имея при этом характера пограничного слоя) приходится решать краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, при «попадании на спектр» этой последней краевой задачи возникают дополнительные трудности. Более подробно с материалом данного пункта можно ознакомиться по работе [3].