ГЛАВА IX. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН

§ 1. Основные уравнения

Важным уравнением теории дифракции является волновое уравнение. О теории волнового и более общих уравнений второго порядка см. гл. II настоящего справочника, посвященную гиперболическим уравнениям. Здесь тоже будут рассмотрены некоторые задачи, описываемые волновым уравнением.

1. Уравнения Максвелла [45], [46], [82, гл. V], [95]. Пусть напряженности электрического и магнитного полей, электрическая и магнитная индукции, плотность электрических зарядов, плотность тока проводимости, плотность тока, порожденного сторонними с — скорость света в пустоте.

Уравнения Максвелла имеют вид:

Кроме того,

где диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость, а — проводимость. В случае однородной изотропной среды постоянные числа. В случае анизотропной среды (кристаллы) симметричный тензор второго

ранга, а в большинстве случаев можно считать скалярами. Для пустоты

Вдоль поверхности контакта 5 двух различных сред 1 и 2 должны выполняться краевые условия:

через обозначены касательные составляющие соответствующих векторов, через нормальные, причем нормаль к границе раздела проведена в сторону среды 1; через поверхностная плотность зарядов на поверхности контакта.

При изучении электромагнитных волн часто считают колебания гармоническими:

Уравнения Максвелла тогда принимают вид

2. Потенциалы электромагнитного поля [82, гл. V]. В случае однородной проводящей изотропной среды можно ввести векторный потенциал А и скалярный потенциал Через них векторы и В выражаются по формулам:

Между имеется следующая связь:

Потенциалы удовлетворяют уравнениям:

При изучении электромагнитного поля в пустоте иногда весьма удобен так называемый поляризационный потенциал Если векторы и потенциалы и А выражаются через по формулам:

и вектор удовлетворяет волновому уравнению

то удовлетворяют уравнениям Максвелла [82], [95].

3. Динамические уравнения теории упругости [50]. Пусть вектор смещения упругого тела. Тензор

называется тензором деформации. Вектор представляющий собой плотность сил, действующих на элементарную площадку с нормалью с той стороны, куда направлена нормаль называется вектором напряжений. Компоненты векторов образуют тензор напряжений орт оси здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам производится суммирование). Тензор симметричен.

В случае идеально упругого анизотропного тела тензор линейно выражается через тензор (закон Гука):

где четырехвалентный тензор удовлетворяет условиям:

б) для любых , одновременно не равных нулю,

В случае изотропного тела закон Гука имеет вид

(здесь параметры Ламе, — символ Кронекера)

Компоненты тензора напряжений удовлетворяют следующим уравнениям движения:

здесь компоненты вектора объемных сил, плотность упругой среды.

В случае однородной изотропной среды уравнения теории упругости имеют вид

На поверхности упругого тела чаще всего задается вектор смещений (первая краевая задача)

или вектор напряжений (вторая краевая задача)

Иногда задаются нормальная составляющая вектора смещения и и касательная составляющая вектора На поверхности, разделяющей два упругих тела в случае жесткого контакта, должны выполняться условия

в случае, когда на поверхности контакта отсутствует трение,

Здесь — нормальная составляющая вектора — касательная составляющая вектора его нормальная составляющая.

4. Потенциалы в теории упругости [95]. Пусть вектор объемных сил X представлен в виде суммы:

тогда любое решение и системы уравнений (9.20) можно представить в виде

где

В плоском случае формулы (9.26) превращаются в формулы

- орт оси или

Функция называется продольным потенциалом или потенциалом продольных волн, вектор (или функция в плоском случае) — поперечным потенциалом или потенциалом поперечных волн.