§ 3. Метод Фурье в случае двух переменных

1. Разложение по собственным функциям уравнения Штурма-Лиувилля [17], [19], [23, т. IV], [30, т. I]. Определения. Дифференциальный оператор

где непрерывны, называется дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля.

Краевые условия

называются краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля. Функция удовлетворяющая уравнению

непрерывная функция, положительная при краевым условиям (2.51) и тождественно не равная нулю, называется собственной функцией уравнения Штурма — Лиувилля.

Число X называется собственным числом. Одному собственному числу отвечает одна собственная функция с точностью до постоянного множителя.

Собственная функция называется нормированной, если

Собственные функции отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Все собственные числа вещественны. Они образуют счетное множество на вещественной оси с единственной точкой сгущения при . В частности, отрицательных собственных значений всегда конечное число. Когда

отрицательных собственных значений нет.

Если то собственным значением будет собственной функцией будет постоянная. В остальных случаях при выполнении условий (2.55) все собственные значения положительны.

Если

При краевых условиях

для нормированной собственной функции имеет место асимптотическая формула

Асимптотические формулы для собственных функций более общих краевых задач см. в [17].

Пусть комплекснозначная функция абсолютно интегрируема на отрезке Рядом Фурье функции по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля называется ряд

Если квадратично интегрируема на то ряд (2.59) сходится к ней в смысле среднего квадратичного, т. е.

и выполняется уравнение замкнутости

Если имеет ограниченную вариацию на отрезке то при ряд Фурье (2.59) сходится к

В случае, когда имеет непрерывную производную и удовлетворяет краевым условиям (2.51), ряд Фурье (2.59)

сходится к регулярно (т. е. ряд из абсолютных величин сходится равномерно [23, т. IV]). В случае при

где при функция частная сумма ряда Фурье по синусам а при по косинусам [17], [30, т. I]. Равенство (2.62) называется теоремой о равносходимости. Общий случай сводится к случаю с помощью подстановки

2. Метод Фурье в случае ограниченной струны (смешанная задача для уравнения струны) [19], [23, т. IV], [28], [29]. Здесь мы будем рассматривать уравнение

где функция не обязательно положительна. Будем считать, что непрерывны.

Пусть надо решить уравнение (2.64) в области если выполнены краевыеусловиятипа Штурма-Лиувилля

и начальные условия

Задача (2.64), (2.65), (2.66) называется смешанной задачей для уравнения (2.64). Решение задачи (2.64), (2.65), (2.66)

можно записать в виде ряда по собственным функциям уравнения Штурма-Лиувилля

Здесь нормированная собственная функция уравнения Штурма-Лиувилля,

Пусть Если функция и имеет непрерывные производные и удовлетворяет уравнению (2.64), краевым и начальным условиям (2.65) и (2.66), то обязательно

и если

если

Эти условия называются условиями согласования (ср. стр. 43). Пусть выполнены условия согласования, и пусть имеет три непрерывные производные, а — две непрерывные производные. Тогда ряд (2.67) допускает двукратное почленное дифференцирование и дает классическое решение задачи (2.64), (2.65), (2.66). Если гладкость меньше, чем указано, или не выполняются условия согласования, то ряд может сходиться к разрывной функции и давать только обобщенное решение (см. § 1 гл. I) уравнения См. также [19], [23, т. IV].

3. Более общая смешанная задача. Пусть гладкая кривая, в каждой точке которой

Такую кривую мы будем называть кривой, ориентированной пространственным образом.

Рассмотрим задачу (которую тоже называют смешанной)

Пусть - функция Дирака, сосредоточенная в точке [7].

Фундаментальным решением смешанной задачи (2.70), (2.71), (2.72) называется решение следующей смешанной задачи для

С помощью метода Фурье нетрудно получить формулу

Применяя формулу Грина к выражению

нетрудно получить, что

Интегрирование по кривой здесь следует проводить слева направо. Из формул (2.71), (2.72), (2.73) следует, что формула (2.75) выражает решение задачи (2.70), (2.71), (2.72) через известные величины.

Формулой (2.75) следует пользоваться таким образом: надо подставить в (2.75) вместо ряд (2.74) и результат его формального почленного дифференцирования по х и по После этого следует формально переменить порядок суммирования и интегрирования, что даст нам ряд, представляющий и

4. Случай уравнения

Вся теория пп. 2 и 3 обобщается на уравнение (2.76). Решение задачи

дает формула

Здесь собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (2.51), (2.52) при

— решения дифференциального уравнения

удовлетворяющие начальным условиям

Здесь собственное число задачи Штурма-Лиувилля. Тем же способом, как это сделано в п. 3, можно решить уравнение

при краевых условиях (2.71) и начальных условиях (2.72). Для этого следует построить (в виде ряда типа решение задачи

и затем применить формулу Грина к интегралу

В результате получается формула, аналогичная формуле (2.75), решающая смешанную задачу (2.79), (2.71), (2.72).