§ 7. Сведения о более общих уравнениях эллиптического типа
1. Уравнение Гельмгольца. Уравнение
часто называется уравнением Гельмгольца. Встречается при решении волнового уравнения, а также уравнения теплопроводности в результате расщепления решения на множитель, зависящий от координат, и множитель, зависящий от времени.
Уравнению Гельмгольца посвящена гл. IV настоящего справочника.
2. Уравнение
Свойства уравнения определяются знаком функции 
Если 
то свойства уравнения (3.42) во многих отношениях аналогичны свойствам уравнения Пуассона. Так:
а) если 
дифференцируемые функции, то существует единственное решение задачи Дирихле в области, граница которой удовлетворяет обычным условиям;
б) в случае 
для решений справедливы теоремы Гарнака;
в) в случае 
для решений справедлив принцип максимума;
г) если коэффициенты 
и 
- аналитические функции, то и решения будут аналитическими функциями.
1) Рассмотрим частный случай: 
где 
помимо свойств а), б) и г), справедлив принцип максимума в следующей ослабленной форме:
Решения уравнения (3.43), определенные и непрерывные в замкнутой области, не могут во внутренних точках области иметь положительных наибольших и отрицательных наименьших значений.
2) Пусть имеем
где 
действительное постоянное число (будем считать 
Фундаментальные решения в трехмерном случае. Функции 
удовлетворяют уравнению (3.44) всюду, кроме начала координат; их называют фундаментальными решениями-, первую из них, обращающуюся в нуль на бесконечности, называют также функцией источника.
Если под 
подразумевать расстояние от точки 
до некоторой постоянной точки 
то 
и на будут удовлетворять уравнению (3.44) всюду, кроме точки 
Интегральное представление решения уравнения (3.44):
Для неоднородного уравнения
Фундаментальные решения в двумерном случае. Функции 
удовлетворяют двумерному уравнению (3.44) всюду, кроме точки 
Но — функция Ханкеля нулевого порядка первого рода, 
— функция Ханкеля нулевого порядка второго рода. Первая из этих функций, обращающаяся в бесконечность при 
и стремящаяся к нулю при 
называется функцией
источника на плоскости. Иногда пользуются обозначениями 
Формула (3.45) в плоском случае заменяется следующей:
формула (3.46) в плоском случае имеет вид
