ГЛАВА II. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Понятие о гиперболическом уравнении второго порядка. Простейшие примеры гиперболических уравнений

1. Определение. Уравнение

где функции от называется -гиперболияеским в некоторой области пространства если выполняется следующее условие: каждая проходящая через начало координат в действительном пространстве прямая должна пересекать поверхность

в двух действительных точках

Пусть уравнение второго порядка имеет вид

Здесь функции от Уравнение (2.3) называется гиперболическим в некоторой точке

если в этой точке каноническая форма матрицы имеет вид

причем ни одно из не равно нулю и знак одного из противоположен знаку остальных [28], [29]; см. также гл. I, § 3 настоящего выпуска. Эти два определения согласованы в том смысле, что каждое -гиперболическое уравнение в каждой точке гиперболично в смысле второго определения и, наоборот, всякое уравнение, гиперболическое в смысле второго определения, при непрерывных в окрестности точки обладает тем свойством, что всегда найдется такая система координат что это уравнение будет гиперболично в некоторой окрестности точки

Важным примером гиперболического -гиперболического) уравнения является уравнение

где положительная квадратичная форма, Если уравнение (2.3) гиперболическое с постоянными коэффициентами, то заменой переменных и искомой функции его всегда можно привести к виду

Здесь оператор Лапласа, [28], [29].

При уравнение (2.5) называется волновым (ср. стр. 24, 55).

Гиперболический тип имеют многие уравнения, встречающиеся в математической физике, например уравнения колебаний струны, мембраны и уравнения распространения звука (см. пп. 2, 3, 4 настоящего параграфа).

В теории гиперболических уравнений часто приходится иметь дело с обобщенными решениями этих уравнений, определенными на стр. 18.

В том случае, когда и имеет непрерывные производные второго порядка, понятия решения в обычном смысле и обобщенного решения совпадают.

Существуют и другие определения обобщенного решения [7], [8], [16], [19].

2. Уравнение колебаний струны [23, т. II], [28], [29]. Пусть в невозмущенном состоянии струна располагается вдоль оси Ее изгиб мы будем характеризовать вертикальным смещением и точки в момент времени Натяжение струны обозначим через упругую восстанавливающую силу — через через линейную плотность, означает проекцию на ось Он силы, действующей на единицу длины струны. В предположении малости колебаний имеет место уравнение

Если конец струны закреплен, то соответствующее краевое условие имеет вид если конец струны свободен, то

3. Уравнение колебаний мембраны [23, т. II], [28], [29]. Если — натяжение тонкой мембраны, и — вертикальное смещение точки в момент времени — проекция на вертикальную ось силы, действующей на единицу площади мембраны, то в предположении малости колебаний имеет место уравнение

Если край мембраны свободен, где вектор нормали к контуру если он закреплен, то

4. Уравнение распространения звука [28], [29]. Звук представляет собой малые колебания газа или жидкости,

колебания, когда в некоторой точке пространства в момент времени давление близко к некоторому среднему значению а плотность Пусть жидкость или газ баротропны, т.е. плотность есть однозначная функция давления:

Пусть, далее, к бесконечно малому объему жидкости или газа приложена сила Тогда имеет место уравнение

где