ГЛАВА III. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА

§ 1. Общие сведения

1. Понятие о гармонической функции. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа, которое для трех независимых переменных имеет вид

или

а в случае независимых переменных —

Уравнение Лапласа инвариантно относительно поворота и переноса декартовых прямоугольных координат.

Функция и называется гармонической в области пространства переменных если в этой области она непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Если область бесконечна, то на гармоническую функцию обычно накладывают еще одно условие. Пусть бесконечная область имеет конечную границу; такая граница может состоять, например, из конечного числа замкнутых поверхностей, вне которых расположена область Обозначим через расстояние от точки до начала координат: Упомянутое выше условие состоит в том, что произведение должно

быть ограничено на бесконечности, иначе говоря, должна существовать такая постоянная С, что во всех точках области достаточно удаленных от начала координат, должно удовлетворяться неравенство

В случае двух переменных последнее условие сводится к тому, что функция должна быть ограничена на бесконечности; в случае трех переменных функция должна удовлетворять в достаточно удаленных от начала координат точках области неравенству

Уравнение

или, в случае независимых переменных,

называется уравнением Пуассона.