§ 2. Гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными

1. Уравнение колебаний струны (метод Даламбера) [28], [29]. В случае уравнение колебаний струны имеет вид (см. § 1)

Любая функция, удовлетворяющая уравнению (2.9) при допускает представление

называемое решением Даламбера. Если то и

Обратно, любая функция вида (2.10) является решением уравнения (2.9).

Решение задачи Коши

дается формулой

Если решение задачи (2.11) ищется лишь при а при задано краевое условие

или

то решение опять дается формулой (2.12), где в случае следует продолжить нечетным образом на всю ось т. е.

а в случае (2.14) — четным образом:

Если решение задачи (2.11) ищется лишь на конечном отрезке (струна имеет конечную длину при 10, а при выполняются краевые условия

или

то решение задачи (2.11), (2.17) или задачи (2.11), (2.18) опять дает формула (2.12), где в случае следует продолжить на всю ось по закону нечетности и периодичности:

а в случае (2.18) — по закону четности и периодичности:

Если непрерывна и имеет непрерывные производные второго порядка (в области в случае полуограниченной струны или в области в случае струны ограниченной), удовлетворяет уравнению (2.9) и краевым условиям (2.13) или (2.14), то в случае краевого условия (2.13)

в случае краевого условия (2.14)

Аналогичные условия должны выполняться при (в случае ограниченной струны). Выписанные здесь условия (2.21) и (2.22) называются условиями согласования. Если (см. сноску на стр. 41) и выполнены условия согласования, то решение соответствующей задачи с начальными и краевыми условиями будет иметь непрерывные производные первого и второго порядка. Если начальные данные и и свободный член имеют особенности или не выполняются условия согласования, то дважды непрерывно дифференцируемого решения рассматриваемых задач не существует. Формула (2.12) дает тогда обобщенное решение уравнения (2.19).

2. Общее гиперболическое уравнение второго порядка. Каскадный метод Лапласа [31]. Общее гиперболическое уравнение второго порядка

заменой переменных может быть сведено к уравнению вида

(стр. 22—23). Поэтому далее в настоящем параграфе мы будем предполагать, что гиперболическое уравнение имеет вид (2.24).

В некоторых случаях можно построить формулы, позволяющие найти все решения уравнения (2.24), аналогично тому как формула Даламбера (2.10) дает все решения уравнения (2.9). Метод получения этих формул, излагаемый здесь, называется каскадным методом Лапласа.

Может случиться, что имеет место тождество

тогда уравнение (2.24) запишется в виде

где

откуда

где — произвольные функции соответственно от х и от у. Аналогично при

получаем

В случае рассматривается некоторое новое, аналогичное (2.24), уравнение:

где

Если функцию удается найти, то решение исходного уравнения (2.16) определяется по формуле

Для уравнения (2.31)

Если то функция , получается описанным выше приемом; если же то продолжаем процесс дальше: строим, как и выше, уравнение В случае можно строить аналогичную цепочку уравнений:

Если на каком-нибудь шаге обратится в нуль, общее решение уравнения (2.16) удается найти.

Этим путем, например, находится общее решение уравнения Эйлера-Дарбу

если хотя бы одно из чисел или целое: а(х, у)

если то находим:

отсюда

т. е.

3. Метод Римана [23, т. IV], [28], [29], [31]. Пусть гладкая кривая задается явным уравнением причем

Требуется найти решение уравнения (2.24), удовлетворяющее условиям

где о) заданные функции, причем

Задача отыскания функции и удовлетворяющей уравнению (2.24), по начальным данным (2.36) есть задача Коши (см. стр. 32).

Пусть удовлетворяет условиям

заданные функции. Задача отыскания функции , удовлетворяющей уравнению (2.24) и условиям (2.38), называется задачей Гурса.

Рис. 1.

Решение задачи Коши (2.24), (2.36) при некоторых ограничениях типа гладкости на существует и единственно, причем значение решения в точке (рис. 1) зависит только от значений на дуге и значений в криволинейном треугольнике Решение задачи Коши зависит непрерывно от

Задача Гурса тоже всегда имеет одно и только одно решение. Решение в точке зависит только от значений на отрезке и на отрезке

Если начальные условия задачи Коши (2.24), (2.36) имеют в точке А особенность, то решение задачи Коши будет иметь особенности вдоль прямых параллельных координатным осям и пересекающихся в точке А (рис. 1). Так как прямые являются характеристиками уравнения (2.24), то этот факт обычно выражают словами так: «разрывы распространяются вдоль характеристик».

Аналогично в случае задачи Гурса (2.24), (2.38) особенность функции в точке А (особенность функции в точке В) приводит к особенности решения вдоль прямой (вдоль прямой

В тех случаях, когда гладкость начальных данных в задачах Коши (2.24), (2.36) и Гурса (2.24), (2.38) нарушается,

дважды непрерывно дифференцируемых решений этих задач, вообще говоря, не существует и решение уравнения (2.24) следует нонимать в обобщенном смысле. Дифференциальный оператор

называют оператором, сопряженным (ср. (1.10)) оператору (см. (2.24)). Решение задачи Гурса

называется функцией Рпмана оператора соответствующей точке

Функция Римана обладает следующим свойством взаимности: если значение в точке функции Римана оператора соответствующей точке значение в точке функции Римана оператора соответствующей точке

Зная функцию Римана, можно записать решение задач Коши и Гурса в квадратурах:

а) задача Коши (2.24), (2.36)

б) задача Гурса (2.24), (2.38)

Функции Римана некоторых операторов:

(см. скан)

Сопряженным оператором для оператора (2.44) является

Пользуясь теоремой взаимности для функции Римана, можно получить функцию Римана и в этом случае.