§ 8. Задача Коши и смешанная задача для параболической системы

Будем искать в слое регулярное решение задачи Коши для параболической системы (6.40) при начальном условии

При условиях, что вектор-функция непрерывна в вектор-функция непрерывна и удовлетворяет условию Гёльдера по х в каждой конечной части слоя и что, кроме того,

с некоторыми положительными решение поставленной задачи дается следующей обобщенной формулой Пуассона:

Это решение единственно в классе регулярных вектор-функций, удовлетворяющих условию

с некоторым

Пусть конечная выпуклая область пространства точек х с достаточно гладкой границей . Обозначим через цилиндрическую область пространства с основанием

Для области будем решать смешанную задачу, состоящую в нахождении вектор-функции удовлетворяющей внутри однородной параболической системе (6.43), на начальному условию

и на поверхности -краевым условиям вида

где достаточно гладкие вещественные квадратные матрицы порядка заданные на 5, и непрерывные вектор-функции, заданные на

К такой задаче сводится более общая смешанная задача для неоднородной системы (6.40) с неоднородным начальным условием (6.46) и краевыми условиями (6.48) с помощью замены неизвестной вектор-функции по формуле

Необходимым условием регулярной разрешимости поставленной смешанной задачи является выполнение условия ее регулярности, описание которого дается ниже.

Обозначим через главные части дифференциальных операторов Для фиксированной точки заменим в производную на и дифференциальный вектор где вектор, касательный к в точке единичный вектор нормали к в точке у. Составим прямоугольную матрицу с строками и с столбцами

где положительно ориентированный контур, лежащий в верхней полуплоскости комплексной плоскости и охватывающий все лежащие там корни уравнения

Смешанная задача называется регулярной, если для любой точки любого вектора с длиной и для любого комплексного удовлетворяющего неравенству — число, определяемое условием параболичности системы (6.43)), ранг матрицы равен

Поясним смысл условия регулярности. В полуслое, ограниченном плоскостью, касательной к в точке плоскостями и содержащем область будем решать смешанную задачу для системы

при начальном условии (6.47) и краевых условиях

Условие регулярности смешанной задачи для цилиндра является следствием требования регулярной разрешимости всех таких смешанных задач для произвольной точки

При выполнении условия согласования начального и краевых условий

регулярная смешанная задача однозначно разрешима. Решение представляется в форме

где регулярные при матричные решения системы (6.43), удовлетворяющие для каждой точки краевым условиям

— символ Кронекера и непрерывные вектор-функции. Из (6.48) и (6,49) следует, что вектор-функции должны удовлетворять системе интегральных уравнений

Ядра системы (6.50) таковы, что к ним применима теория Вольтерра, и в смысле разрешимости эта система ведет себя, как система интегральных уравнений типа Вольтерра: к ней применим метод последовательных приближений.