§ 7. Системы линейных гиперболических уравнений

1. Случай двух независимых переменных. Система первого порядка [1], [19], [33], [34], [41]. Любую систему дифференциальных уравнений в частных производных вида

( искомые функции) в случае, когда

можно записать в форме, разрешенной относительно

Только о таких системах и пойдет речь. Система уравнений

где вектор, составленный из искомых функций, матрица порядка известный вектор, называется

гиперболической по И. Г. Петровскому в области если в каждой точке области О уравнение

имеет вещественные и различные корни Если в каждой точке кривой

то кривая называется характеристикой системы уравнений (2.136). Если вместо вектора ввести новый искомый вектор где — неособая матрица, то мы получим гиперболическую систему, эквивалентную исходной. При таком преобразовании характеристики нового и старого уравнений совпадают. Матрицу можно выбрать так, что система (2.136) перейдет в систему

где диагональная матрица, вдоль диагонали которой стоят собственные числа матрицы т. е. Будем считать, что система (2.136) определена в окрестности оси Для системы (2.136), гиперболической по Петровскому, и для эквивалентной ей системы (2.139) корректна задача Коши

(если матрица А, векторы имеют непрерывные производные первого порядка). Если имеют непрерывных производных, то это верно и для решения задачи Коши

Рис. 2.

Через каждую точку можно провести различных характеристик системы (2.136). Решение задачи Коши в точке зависит только от начальных данных на отрезке (рис. 2). Разрыв начальных данных

в точке А приводит к разрыву в решении на характеристиках, исходящих из А, и только на них. Разрывные решения задачи Коши должны быть обобщенными решениями системы уравнений (2.136). Вектор и называется обобщенным решением системы уравнений (2.136) в области если в этой области:

1) компоненты вектора и суммируемы,

2) для любого вектора имеющего непрерывные производные первого порядка и равного нулю в окрестности границы

Пусть система уравнений (2.139) задана в области

Тогда при дополнительных условиях гладкости корректна смешанная задача

Здесь заданные числа, — заданные функции, заданный вектор.

2. Случай произвольного числа независимых переменных. Система линейных уравнений

называется гиперболической по Петровскому в точке если при любых действительных сумма квадратов которых положительна, определитель

имеет только действительные и различные корни

Для таких систем доказана корректность задачи Коши [21], там же рассмотрены нелинейные гиперболические системы; см. также [9], [10].

Задача Коши для системы (2.143) ставится как задача нахождения по начальным данным

заданы.

Если поверхность удовлетворяет уравнению

то эта поверхность называется характеристикой системы уравнений (2.143). Если при начальные данные для системы (2.143) имеют разрыв вдоль достаточно гладкой -мерной поверхности то решение задачи Коши будет тоже иметь разрыв вдоль характеристических поверхностей, проходящих через Для гиперболических систем первого порядка это показано в работе [32].

[Если начальные данные разрывны, то решения гиперболической системы в обычном смысле не существует. Решение понимается в смысле интегрального тождества, подобно тому как было определено в предыдущем пункте обобщенное решение для системы первого порядка (см, формулу (2.140)).]

В случае система (2.143) вырождается в одно гиперболическое уравнение

Обобщенная функция удовлетворяющая уравнению (2.143) при в области а при начальным условиям

называется фундаментальным решением задачи Коши, В случае 1 роль фундаментального решения играет фундаментальный тензор компонентами которого являются составляющие вектора удовлетворяющие системе (2.143) при а при начальным условиям

символ Кронекера).

Для гиперболических по Петровскому уравнений и систем фундаментальные решения построены ([3], [7], [14] — постоянные коэффициенты, случай одного уравнения, [2] — случай системы и случай переменных коэффициентов). Доказано, что фундаментальные решения имеют особенности лишь на характеристическом коноиде, исследован характер этих особенностей ([3] — случай постоянных коэффициентов, [2] — случай переменных коэффициентов).

Характеристический коноид для гиперболической системы определяется аналогично тому, как это делается в случае одного уравнения второго порядка. Коноид для гиперболического уравнения высшего порядка состоит из нескольких полостей.

Если фундаментальное решение в области между двумя полостями характеристического коноида тождественно равно нулю, то эту область называют лакуной. Исследованию лакун посвящены работы [4], [20].

Зная фундаментальный тензор, решение любой задачи Коши можно записать в квадратурах. При (случай двух независимых переменных) фундаментальный тензор будет обобщением функции Римана. Особенности компонент тензора Римана будут находиться на характеристиках, проходящих через точку характеристический коноид здесь вырождается в характеристических кривых. Для случая фундаментальное решение подробно исследовано в [38].

В некоторых частных случаях удается доказать корректность задачи Коши для гиперболических систем и в случае совпадения корней уравнения (2.144).

Это касается, в частности, систем первого порядка

симметрические матрицы [35] порядка систем вида

где так называемый сильно эллиптический оператор второго порядка [5] (см. также гл. V, § 3 настоящей книги), и некоторых гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными [33].

Полные результаты о корректности задачи Коши получены для уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

называется гиперболическим по Гордингу, если многочлен в правой части имеет порядок по всем аргументам,

по аргументу и если вещественные части корней уравнения ограничены при всех вещественных . И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов ([8], гл. III) называют гиперболической систему

линейных уравнений с постоянными коэффициентами, если;

а) степенной порядок роста функции не превосходит 1, т. е.

б) при вещественных функция ограничена:

Здесь где характеристические корни матрицы

Для гиперболических систем (2.152) и только для гиперболических, если ограничиться системами этого вида, задача Коши с начальными данными при корректна в классе достаточно гладких функций без каких-либо ограничений на поведение этих функций на бесконечности [8]. Аналогичная теорема имеет место и для уравнения (2.151).